Tesis defendidas

Tesi honek zuhaitz errotu erregularren automorfismoen taldeen inguruko problema batzuk ebaztea du helburu. Talde hauek, Grigorchuk-en lehen taldea konkretuki, 80ko hamarkadan izan ziren lehenengoz definituak (ikus [26]), eta geroztik luze eta zabal ikertu da beraien inguruan. Talde hauek interesgarri izatearen arrazoi nagusia dauzkaten ezaugarri bitxiak direla esan genezake. Esate baterako, Grigorchuk-en lehen taldea Burnsideren problema orokorraren kontra adibide bat da, hau da, talde finituki sortua, periodikoa eta infinitua. Ordurako ezagunak ziren jadanik beste adibide konplexuago batzuk, baina talde hau definitzearen helburua hasiera batean Burnsideren problema orokorrarentzat adibide sinple bat ematea izan zen. Gerora, ordea, beste propietate berezi asko dauzkala frogatu ahal izan da. Horien artean garrantzitsuena, Milnor-en problemari ([32]) erantzuna eman ziona. Jakina zen ordurako bazirela taldeak hitzen hazkunde polinomiala eta exponentziala zeukatenak, baina erdibideko hazkundea zeukan talderik ba ote zen galdetu zuen Milnorrek. Erantzuna baiezkoa zen, eta Grigorchuk-en lehen taldea izan zen lehen adibidea ([21]). Geroztik hainbat problema ikertu dira talde hauekin erlazionatuta, eta hainbat orokorpen ezberdin eta talde berri definitu dira alor honetan. Zuhaitz errotu erregularrak, honela eraikitzen dira: Izan bedi X multzo finitu bat, d elementu dauzkana. Orduan X¿, hau da, multzoa alfabeto bezala 131 LABURPENA EUSKERAZ kontsideratuz osa daitezkeen hitz finituen multzoak osatzen du zuhaitzaren erpinen multzoa. Bi erpin u, v ¿ X¿ ertz batez lotuta egongo dira baldin eta u = vx edo v = ux bada x ¿ X baterako. Honela eraikitako zuhaitza T bidez adieraziko dugu, eta d-adikoa dela esango dugu X-k d elementu baldin badauzka. Izan bedi T zuhaitz d-adikoa. Zuhaitzaren automorfismo bat, erpinen arteko bijekzio bat da, zeinek ertzen loturak errespetatzen dituen. Automorfismo guztien multzoa Aut T bezala adieraziko dugu, eta konposaketarekiko talde bat osatzen du. Tesiaren 1. kapituluan zuhaitzen automorfismoen inguruko definizio garrantzitsuenak ematen dira. Adibidez, G ¿ Aut T self-similar edo (weakly) branch izatea zer den. Ondoren, talde hauekin erlazionatutako problema ezberdinak azaltzen dira. Batetik, congruence subgroup problem bezala ezagutzen dena. Problema honek talde infinituen indize finituko azpitaldeak hobeto ezagutzea du helburu. Hasiera batean talde aljebraikoentzako planteatu zen, hain zuzen ere SLn(Z) taldeentzako. Problemak, nolabait esateko, galdetzen du ea indizie finituko azpitalde guztiak ezagutzeko nahikoa den azpitalde finituen familia konkretu bat ezagutzea. Edo beste era batera esanda, ea indize finituko azpitalde guztiek eta familia konkretu horrek topologia bera definitzen duten taldean. Lehen aipatutako SLn(Z) taldeen kasuan, familia hori {ker(¿m : SLn(Z) ¿ SLn(Z/mZ))}m¿N da, eta hortik datorkio `congruence¿ izena. Beraz, bi topologiak berdinak diren kasuan, taldeak congruence subgroup property duela esaten da. Zuhaitzen automorfismoen taldeentzat problemaren analogoa planteatzerako orduan, familia berezi bezala maila bakoitzeko estabilizatzaileak hartzen ditugu kontuan; hau da, stG(n) da n luzerako erpinak finko uzten dituzten 132 LABURPENA EUSKERAZ automorfismoek osatzen duten azpitaldea. Beraz, galdera litzateke ea G ¿ Aut T-ren indize finituko azpitaldeek eta estabilizatzaileek topologia bera definitzen duten G-n. Planteatzen den bigarren problemak talde bateko elementuen deskribapenarekin du zerikusia. Zuhaitz d-adiko baten automorfismo bakoitza erpin bakoitzari permutazio bat esleituta deskriba daiteke, non permutazio horrek adierazten duen nola mugitzen dituen automorfismoak erpin horretatik zintzilik dauden d erpinak. Gainera, taldea self-similar den kasuetan, dekorazio hori puntu batean amai daiteke, permutazio baten ordez talde bereko automorfismo bat jarriz. Horrek adieraziko luke erpin horretatik behera elementuak egiten duen ekintza automorfismo horrek zuhaitz osoan egiten duen ekintzarekin deskriba daitekeela. Kontua da era honetan ez dagoela garbi noiz amaitu behar dugun dekorazioa eta noiz jarraitu. Horregatik, taldea contracting deritzona izatea garrantzizkoa da. Izan ere, kasu horretan elementu multzo finitu bat existitzen da, nukleo deritzona, non edozein elementuren dekorazioan puntu batetik aurrera nukleo horretako elementuetan erortzen garen. Orduan elementu bakoitza gisa horretan dekoratuta, hau da, nukleoko elementu batekin topo egiterakoan gelditu ezkero, elementuaren sakonerari (depth) buruz hitz egin dezakegu. Elementu baten sakonera litzateke elementuaren dekorazioan errotik hasita dagoen bide luzeenaren luzera. Behin elementu bakoitzari sakonera bat esleituta, galdera naturala da zein den sakoneraren hazkundea, portrait growth bezala ezagutzen dena. Galdera hau Grigorchuk-ek egin zuen [18] artikuluan Grigorchuk-en lehen taldeari buruz. Lehen kapituluarekin bukatzeko tesian zehar agertuko diren talde ezberdinen definizioa ematen da: Grigorchuk-en lehen taldea, GGS-taldeen familia, Hanoi-ren dorreen taldea eta Apollonian taldea eta Basilica taldea. Talde 133 LABURPENA EUSKERAZ bakoitzaren definizioaz gain ezagunak diren zenbait propietate garrantzitsu aipatzen dira, baita gerora beharrezkoak izango diren batzuk enuntziatu eta frogatu ere. Bigarren kapituluan literaturan nahasmena sortu duen kontzeptu bat argitzen dugu. Zuhaitzen automorfismoen talde bat fractal dela esaten da baldin eta erpin bakoitzean talde osoaren ekintza berreskura badaiteke, nolabait esateko. Zenbait artikulutan esaten zen hori eta lehen mailako estabilizatzailearen erpin bakoitzeko proiekzioa supraiektiboa izatea baliokideak zirela. Egia da bigarrenak lehena inplikatzen duena, baina alderantzizkoa ez da egia. Beste zenbait artikulutan bereizketa egina zegoen eta gogorragoa den baldintza honi strongly fractal esaten zitzaion. Edozein kasutan, inon ez zen adibiderik ematen fractal izan eta strongly fractal ez zenarena. Guk bi adibide eraikitzen ditugu. Bestalde, talde bat fractal izan dadin, nahikoa da lehen mailako erpinetan fractal izateko baldintza batetzen badu. Artikulu batean esaten zen strongly fractal-ekin ere gauza bera gertatzen zela. Adibideak emanez ikusten dugu ez dela horrela, eta beraz hirugarren honi, hau da, lehen mailan bakarrik ez, maila denetan strongly fractal izateko baldintza betetzeari super strongly fractal izena eman diogu. Adibideak emanez erakusten dugu bi propietate hauek ere ez direla baliokideak. Emaitza hauek [37] artikuluan publikatuak izan dira. Hirugarren kapituluan aurrerago aipatutako congruence subgroup problem aztertzen dugu GGS-taldeen familiarentzat. Talde hauek zuhaitz p-adikoaren automorfismoen taldeak dira p zenbaki lehen bakoitia izanik. Bi elementuk sortzen dituzte eta elementuetako bat bektore baten arabera definitzen da. Honela, bektore bakoitzak talde bat definitzen du. Aldez aurretik jakina zen ([33]), talde hauek periodikoak diren kasuan badaukatela congruence subgroup property. Hau da, indize finituko azpitaldeek eta estabilizatzaileek 134 LABURPENA EUSKERAZ topologia bera definitzen dutela taldean. Kontua da, talde hauek periodikoak direla baldin eta soilik baldin definizio bektorearen osagaien batura zero bada Fp-n (ikus [38]). Guk kasu guztietarako ematen dugu erantzuna. Hasteko, frogatzen dugu G taldea bektore ez-konstante batek definituriko GGS-taldea bada, orduan congruence subgroup property daukala. Emaitza honi esker, Barnea-k egindako galdera bat erantzuteko gai izan gara (ikus [2]). Izan ere, galdetzen zuen ea existitzen ziren finituki sortuak, erresidualki finituak, ez periodikoak ziren talde infinituak zeintzuen konplezio profinitua pro-p taldea zen. GGS-taldeetako asko ez direnez periodikoak eta Aut T-ren Sylow-en pro-p talde batean bizi direnez, Barnea-ren galderarako adibideak direla frogatzen du aurreko emaitzak. Gainera, Barnea-k bigarren galdera bat egiten du, ez periodiko beharrean tortsio-askeak (torsion-free) izateko eskatuz. Talde hauetako batzuk birtualki tortsio-askeak direla frogatzen dugu, eta beraz bigarren galderari ere erantzuna ematen diogu. Bektore konstante bidez definituriko GGS-taldearen kasua (G bidez adierazi duguna tesi osoan zehar) erabat ezberdina da. Izan ere konplezio profinitutik estabilizatzaileekiko konpleziora dagoen epimorfismo naturalak isomorfismo izan behar luke congruence subgroup property izateko. Bestela esanda, epimorfismo horren nukleoa, congruence kernel deiturikoa, tribiala izan behar da. Guk frogatzen dugu G-ren kasuan nukleo hau infinitua dela, eta beraz, ez daukala congruence subgroup property. Hau gertatzearen arrazoia da, G taldeak indize finituko azpitalde bat duela zein Z-ra proiektatzen den. Beraz, G-n existitzen dira indizea p-ren berretura ez duten indize finituko azpitaldeak. Nola estabilizatzaile denen indizea p-ren berretura den, horrek zuzenean garamatza bi topologiak ezin daitezkeela berdinak izan ondorioztatzera. Beraz, galdera naturala da, indize finituko azpitalde guztiak hartu ordez, indizea p-ren berretura duten 135 LABURPENA EUSKERAZ azpitalde normalak kontsideratuz gero, ea orduan bat datozen estabilizatzaileen topologia eta azken hau. Hori da hain zuzen ere laugarren kapituluaren motibazioa. Aurretik aipatutako emaitzak, [14] artikuluan bilduta daude. Bukatzeko, kapitulu berean, GGS-taldeen orokorpena diren multi-GGS taldeentzako ere orokortzen ditugu aurreko bi emaitzak. Talde hauek, sortzaile berriak gehituz eraikitzen dira. Hala, sortzaile bakoitza bektore ezberdin batek definitzen du. Kasu honetan beraz, emaitza da G ez den edozein multi- GGS taldek baduela congruence subgroup property. Hemen aurki daiteke aipatutako emaitza: [17]. Laugarren kapituluan congruence subgroup problem-aren orokorpen bat planteatzen dugu. Aldez aurretik esan gisan, kasu batzuetan beste topologia batzuk egokiagoak izan daitezke estabilizatzaileenarekin konparatzerako garaian. Izan bedi C talde finituen pseudo-barietate bat. Hau da, talde finituen multzo bat, itxia dena azpitaldeekiko, zatidurekiko eta biderketa kartesiar finituekiko. Orduan, oro har G talde infinitu bat izanik, NC = {N ¿ G | G/N ¿ G}-k topologia bat definitzen du G-n, pro-C topologia deritzona. Baldin eta G zuhaitz errotu erregular baten automorfismoen taldea bada, eta G/ stG(n) ¿ C betetzen bada n ¿ N guztietarako, orduan estabilizatzaileen topologia konparagarria da pro-C topologiarekin. Bi topologiak bat datozenean esango dugu G-k C-congruence subgroup property daukala (C-CSP laburtuta). Kapitulu berean, problema definitzeaz gain, weakly regular branch diren zuhaitzen automorfismoen taldeentzako baldintza nahikoa den bat ematen dugu C-CSP izan dezaten. Baldintza hori baliatuz frogatzen dugu G-k baduela p-CSP, eta baita Basilica taldeak 2-CSP duela ere bai. Nahiz eta gu p-talde finituen barieta- 136 LABURPENA EUSKERAZ teekin baino ez garen aritzen, aipagarria da baldintzak orokorrean balio duela, eta beraz, interesgarria litzateke adibideak topatzea zeintzuentzat talde nilpotente finituen edo ebazgarri finituen pseudo-barietateentzako betetzen den propietatea, adibidez. Emaitza hauek [16] artikuluan daude jasota. Bukatzeko, bostgarren eta azken kapituluan lehenago aipatutako portrait growth-aren problemaz arduratzen gara. Hasteko, regular branch diren taldeentzako bide bat ematen dugu ekuazio errekurtsibo batzuk eskuratu ahal izateko. Horrela, n sakonera duten elementuen kopurua kalkulatzeko gaitasuna izango dugu n ¿ 1 sakonera dutenen kopurua ezagututa. Ondoren Grigorchuk-en lehen taldea, bektore ez-simetrikoek definitutako GGS-taldeak eta Apollonian taldearentzat kalkulatu egiten ditugu aipatutako ekuazioak. Hiru kasuetan, teknika ezberdinak erabiliz, gai gara frogatzeko hazkundea exponentzial bikoitza dela. Gure konjetura da gauza bera beteko dela edozein regular branch eta contracting den taldetan, baina momentuz ez gara frogatzeko gai izan. Emaitza hauek [35] artikuluan topa daitezke.

The beta-binomial distribution does not belong to the exponential family and, hence classical regression techniques cannot be used when dealing with outcomes following the mentioned distribution. In this thesis we propose and develop regression models based on the beta-binomial distribution for the analysis of U, J or inverse J-shaped discrete and bounded outcomes. In fact, although this thesis is focused on the analysis of patient-reported outcomes (PROs), which usually follow the mentioned distributional shapes, proposed models can also be extended to several fields. First of all, we make a review and comparison of existing beta-binomial regression approaches in independent data context, concluding that the marginal approach is the most adequate. However, PRO studies are usually carried out in a longitudinal framework, where patients' responses are measured over time. This leads to a multilevel or correlated data structure and consequenlty, we extend the marginal beta-binomial regression approach to the inclusion of random effects to accommodate the hierarchical structure of the data. We develop the estimation and inference procedure for the model proposal. Furhtermore, we compare the performance of our proposal with similar approaches in the literature, showing that it gets better results in terms of reducing the bias of the estimates. We apply the model to a longitudinal Chronic Obstructive Pulmonary Disease study carried out at Galdakao Hospital, reaching clinically and statistically relevant results about the evolution of the patients over time. PROs are usually obtained using rating scale questionnaires consisting of questions or items, grouped into one or more subscales, often called dimensions or domains. Therefore, we also propose a multivariate regression model based on the beta-binomial distribution for the joint analysis of all the longitudinal dimensions provided by different questionnaires. Finally, it is worth mentioning that we have implemented all the proposed regression models in the PROreg Rpackage which is freely available at CRAN.

Con difusión anómala se hace referencia a procesos de difusión en los cuales el desplazamiento cuadrático medio (MSD) no es una función lineal de la variable tiempo (lo que se conoce como difusión normal). Cuando la relación es más rápida que lineal, se le llama superdifusión, y cuando es más lenta, subdifusión. Físicamente, el MSD es una medida de las desviación de la posición de las partículas con el tiempo. Se puede imaginar como la cantidad de espacio que las partículas han explorado en el sistema. La difusión anómala aparece constantemente en la naturaleza y por ello los científicos han desarrollado diferentes modelos que pueden reproducirla efectivamente. Sin embargo, la física subyacente de una gran cantidad de experimentos aun no se comprende correctamente. Este es el caso del movimiento de las moléculas de ARN mensajero dentro de bacterias E. coli, donde los más importantes procesos estocásticos fallan al intentar explicar todas sus características al mismo tiempo. Por ejemplo, el caminante aleatorio con tiempo continuo (CTRW) puede explicar la falta de ergodicidad pero no la variación-p. Por otro lado, el movimiento Browniano fraccionario (fBm) puede explicar su variación-p pero se trata de un proceso ergódico. Hemos analizado una clase de procesos estocásticos conocida como movimiento Browniano gris generalizado (ggBm) que además de reproducir difusión anómala, no es ergódico y tiene una variación-p como la del fBm, siendo por tanto un buen candidato para explicar el experimento citado anteriormente. Además, hemos incluído un factor con una dependencia temporal explícita para que sea un proceso no estacionario, característica que se suele denominar envejecimiento. De forma coincidente con los resultados computacionales, hemos podido encontrar expresiones matemáticas para muchos observables incluyendo el MSD promediado colectivamente y temporalmente, el parámetro de Rotura de la Ergodicidad, la función densidad de probabilidad en un punto y en un tiempo y la variación-p. Por otro lado, muchos experimentos muestran una transición característica de un régimen de difusión anómala a otro de difusión normal. Por ejemplo, esto ocurre en sistemas viscoelásticos como el movimiento de moléculas de lípidos en membranas bicapa de lípidos. La segunda parte de esta tesis está dedicada al estudio de procesos estocásticos que mediante una truncamiento de la función de autocorrelación del ruido o fuerza estocástica en la ecuación de Langevin sobredimensionada o la ecuación de Langevin fraccionaria sobredimensionada, se puede conseguir este tipo de transición. Esto ocurre cuando el truncamiento se hace de forma exponencial o mediante una ley de potencias suficientemente fuerte. Si la ley de potencias es débil, se obtienen transiciones de un régimen de rápida superdifusión a otra más lenta, y de un régimen de subdifusión lenta a otra más rápida, respectivamente. En esta parte también se consideran otros procesos en los que el truncamiento se realiza directamente sobre la definición del fBm original de Mandelbrot y Van Ness. Se conoce como movimiento Browniano fraccionario templado (tfBm) y, sorprendentemente, no tiene las mismas propiedades que los anteriores modelos. En su lugar, a tiempos largos presenta localización como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Hemos comparado ambos procesos. Cuando la derivada del tfBm es usada en ecuación de Langevin fraccionaria, se obtiene difusión balística para tiempos largos. En la última parte estamos interesados en los últimos avances en teoría neutral espacial del campo de la Ecología, cuyos problemas resultan familiares a los expertos en Física Estadística. De hecho, los ecosistemas reproducen una organización espacial compleja que los ecólogos han intentando caracterizar observando los diferentes patrones de biodiversidad a distintas escalas espaciales. Relacionar estas medidas con las causas que las originan es probablemente el problema central de la Ecología. La teoría neutral de la Ecología, que subraya el papel de las fluctuaciones demográficas estocásticas y rechaza los efectos deterministas procedentes de diferencias adaptativas, ha predicho los patrones empíricos en comunidades de especies que compiten entre si. Hemos estudiado las leyes de escalado que surgen en la dimensión crítica (2D) de los modelos espaciales neutrales, los cuales no se comprenden del todo a día de hoy. Acabamos discutiendo algunos modelos con características no neutrales.

In this thesis, we present a mathematical study of three problems arising in the kinetic theory of quantum gases. In the first part, we consider a Boltzmann type equation that is used to describe the evolution of the particle density of a homogeneous and isotropic photon gas, that interacts through Compton scattering with a low-density electron gas at non-relativistic equilibrium. Due to the highly singular redistribution function, we consider an approximation that is, nevertheless, still singular at the origin. The global existence of measure-valued weak solutions for a large set of initial data is established. We also study a simplified version of this equation, that appears at very low temperatures of the electron gas, where only the quadratic terms are kept. The global existence of measure-valued weak solutions is proved for a large class of initial data, as well as the global existence of $L^1$ solutions for initial data that satisfy a strong integrability condition. The long time asymptotic behavior of weak solutions for this simplified equation is also described. In the second part of the thesis, we consider a system of two coupled kinetic equations related to an simplified model for the evolution of the particle density of the normal and superfluid components in a homogeneous and isotropic weakly interacting dilute Bose gas. We prove the global existence of measure-valued weak solutions for a large class of initial data. The conservation of mass and energy and the production of moments of all positive order is also established. Finally, we study some of the properties of the condensate density and we establish an integral equation that describes its time evolution.

El principal objetivo de esta tesis es encontrar condiciones en el dato inicial u0 del problema de valores iniciales de Schrödinger para determinar ciertas propiedades de su evolución dinámica. Primero consideramos la version elíptica del problema en su forma perturbativa. La idea es buscar cotas inferiores para la solución dando únicamente condiciones en tiempo cero y sobre el potencial. Tras analizar este caso haremos el mismo análisis para el operador hiperbólico de Schrödinger. Tras esto nos centramos en el caso de la partícula libre, esto es, el caso en el que no hay potencial actuando. El objetivo será cuantificar la norma L2 de la solución en un cilindro espacio-tiempo dando una vez más condiciones sobre el dato inicial. Para ello definimos el espacio ¿¿ donde ¿ es un parámetro que toma valores en (0,1]. El caso ¿=1 es algo especial y lo trataremos de manera independiente hacienda uso del Teorema Virial. Finalmente analizamos principios de incertidumbre dinámicos derivados del análisis previo. La clave será escribir la solución como u = ¿ei¿ donde ¿ y ¿ son funciones reales. Daremos estos principios de incertidumbre en términos de estas funciones y buscaremos soluciones explícitas para que u sea minimizante del problema.

Isogeometric Analysis (IGA) is a computational approach frequently employed nowadays to study problems governed by partial differential equations (PDEs). This approach defines the geometry using conventional CAD functions and, in particular, NURBS. These functions represent complex geometries commonly found in engineering design and are capable of preserving exactly the geometry description under refinement as required in the analysis. Moreover, the use of NURBS as basis functions is compatible with the isoparametric concept, allowing to build algebraic systems directly from the computational domain representation based on spline functions, which arise from CAD. Therefore, it avoids to define a second space for the numerical analysis resulting in huge reductions in the total analysis time. For the case of direct solvers, the performance strongly depends upon the employed discretization method. In particular, on IGA, the continuity of the solution spaces plays a significant role in their performance. High continuous spaces degrade the direct solver's performance, increasing the solution times by a factor up to O(p^3) with respect to traditional finite element analysis (FEA) per unknown, being p the polynomial order. In this work, we propose a solver-based discretization that employs highly continuous finite element spaces interconnected with low continuity hyperplanes to maximize the performance of direct solvers. Starting from a highly continuous IGA discretization, we introduce C^0 hyperplanes, which act as separators for the direct solver, to reduce the interconnection between the degrees of freedom (DoF) in the mesh. By doing so, both the solution time and best approximation errors are simultaneously improved. We call the resulting method ``refined Isogeometric analysis" (rIGA). Numerical results indicate that rIGA delivers speed-up factors proportional to p^2. For instance, in a 2D mesh with four million elements and p=5, a Laplace linear system resulting from rIGA is solved 22 times faster than the one from highly continuous IGA. In a 3D mesh with one million elements and p=3, the linear rIGA system is solved 15 times faster than the IGA one. We have also designed and implemented a similar rIGA strategy for iterative solvers. This is a hybrid solver strategy that combines a direct solver (static condensation step) to eliminate the internal macro-elements DoF, with an iterative method to solve the skeleton system. The hybrid solver strategy achieves moderate savings with respect to IGA when solving a 2D Poisson problem with a structured mesh and a uniform polynomial degree of approximation. For instance, for a mesh with four million elements and polynomial degree p=3, the iterative solver is approximately 2.6 times faster (in time) when applied to the rIGA system than to the IGA one. These savings occur because the skeleton rIGA system contains fewer non-zero entries than the IGA one. The opposite situation occurs for 3D problems, and as a result, 3D rIGA discretizations provide no gains with respect to their IGA counterparts. Thesis director(s): David Pardo from UPV/EHU university and Victor M. Calo from Curtin university

Migraine is a common neurological disorder and one-third of migraine patients suffer from migraine aura, a perceptual disturbance preceding the typically unilateral headache. Cortical spreading depression (CSD), a depolarisation wave that originates in the visual cortex and propagates across the cortex to the peripheral areas, has been suggested as a correlate of visual aura by several studies. The complex and highly individual-specific characteristics of the brain cortex suggest that the geometry might have a significant impact on CSD propagation. In this thesis, we combine two existing models, a detailed neurological model for the electrophysiological component of CSD and a reaction-diffusion model accounting for the potassium diffusion, the driving force of CSD propagation. In the process, we integrate two aspects of CSD that occur at different time scales: the electrophysiological dynamics features a temporal scale in the order of milliseconds, while the extracellular potassium dynamics that triggers CSD propagation features is on the scale of minutes. As a result we obtain a multi-scale PDE-ODE model. In addition, we incorporate patient-specific data in the CSD model: (i) a patient-specific brain geometry obtained from magnetic resonance imaging, and (ii) personalised conductivity tensors derived from diffusion tensor imaging data. To study the role of the geometry in CSD propagation, we define geometric and CSD-dependent quantities of interest (QoI) that we evaluate in two case studies. Even though the geometry does not seem to have a major impact on the CSD propagation, some QoI are promising candidates to aid in the classification of healthy individuals and migraine patients. Finally, to account for the lack of experimental data for validation and selection of the model parameters, we apply different techniques of uncertainty quantification to the CSD model and analyse the impact of various parameter choices on the model outcome. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- La migraña es un trastorno neurológico muy común. Un tercio de los pacientes que sufren migraña experimentan lo que se denomina aura, una serie de alteraciones sensoriales que preceden al típico dolor de cabeza unilateral. Diversos estudios apuntan a la existencia de una correlación entre el aura visual y la depresión cortical propagada (DCP), una onda de despolarización que tiene su origen en el córtex visual para propagarse, a continuación, por todo el córtex hacia las zonas periféricas. La complejidad y la elevada especificidad de las características del córtex cerebral sugieren que la geometría podría tener un impacto significativo en la propagación de la DCP. En esta tesis hemos combinado dos modelos existentes: un modelo neurológico pormenorizado para el componente electrofisiológico de la DCP y un modelo de reacción-difusión que tiene en consideración la difusión del potasio, el impulsor de la propagación de la DCP. Durante el proceso, hemos integrado dos aspectos de la DCP que tienen lugar en diferentes escalas de tiempo: la dinámica electrofisiológica seguiría un patrón temporal del orden de milisegundos, mientras que la dinámica del potasio extracelular que acciona las funciones de propagación de la DCP se mediría en una escala de minutos. Como resultado, obtendremos un modelo multiescalar EDP-EDO. Asimismo, hemos incorporado los datos específicos del paciente en el modelo DCP: (i) la geometría cerebral específica de un paciente obtenida a través de resonancia magnética, y (ii) los tensores de conductividad personalizados obtenidos a través de diffusion tensor images. A fin de estudiar el papel que desempeña la geometría en la propagación de la DCP, hemos definido las cantidades de interés (CdI) relacionadas con la geometría y las que dependen de la DCP y las hemos evaluado en dos casos prácticos. Si bien la geometría no parece tener un impacto significativo en la propagación de la DCP, algunas CdI han resultado ser unas candidatas muy prometedoras para facilitar la clasificación de individuos sanos y pacientes con migraña. Finalmente, para justificar la carencia de datos experimentales para la validación y selección de los parámetros del modelo, hemos aplicado diversas técnicas de cuantificación de la incertidumbre al modelo DCP y hemos analizado el impacto de las diversas elecciones de parámetros en el resultado del modelo.

This thesis is devoted to the study of the Dirac Hamiltonian perturbed by delta-type potentials and Coulomb-type potentials. We analysed on the delta-shell interaction on bounded and smooth domains and its approximation by the coupling of the free Dirac operator with shrinking short range potentials.Under certain hypothesis of smallness of a regular potential, we prove that the Dirac operator in R^3 coupled with a suitable rescaling of the potential converges in the strong resolvent sense to the Hamiltonian coupled with a delta-shell potential supported on a bounded C^2 surface. Nevertheless, the coupling constant depends non-linearly on the potential: the Klein's Paradox comes into play. Furthermore, we pay focus on the Dirac Operator with spherical delta-shell interactions. We characterize the eigenstates of those couplings by finding sharp constants and minimizers of some precise inequalities related to an uncertainty principle and we explore the spectral relation between the shell interaction and its approximation by short range potentials with shrinking support, improving previous results in the spherical case. Finally, we investigate the Dirac operator perturbed by a certain class of Coulomb-type spherically symmetric potentials. We describe the self-adjoint realizations of this operator in terms of the behaviour of the functions of the domain in the origin, and we provide Hardy-type estimates on them. Finally, we give a description of the distinguished extension.

While probabilistic modelling has been widely used in the last decades, the quantitative prediction in stochastic modelling of real physical problems remains a great challenge and requires sophisticated mathematical models and advanced numerical algoritms. In this study, we developed the mathematical tools for the quantitative prediction of three applications in Polymer Science and Quantum Measurements theory. In particular, we addressed a stochastic approach for the quantitative modelling of Controlled Radical Polymerization. Then, a Population Balance Equations based framework was derived for the on-the-fly prediction of Multi-phase Polymers Morphology. Finally, we designed a stochastic simulation framework for measurements performed on quantum systems, which helped us to re-examine the "continuous fuzzy measurements" theory by Audretsch and Mensky (1997).

When inverting Logging-While-Drilling (LWD) resistivity measurements, it is a common practice to consider a one-dimensional (1D) layered media to reduce the problem dimensionality using a Hankel transform. Using orthogonality of Bessel functions, we arrive at a system of Ordinary Differential Equations (ODEs); one systema of ODEs per Hankel mode. The dimensionality of the resulting problem is referred to as 1.5D since the computational cost to resolve it is in between that needed to solve a 1D problema and a 2D problem. When material properties are piecewise-constant, we can solve the resulting ODEs either (a) analytically, which leads to a so-called semi-analytic method, or (b) numerically. Semi-analytic methods are faster, but they also have important limitations, for example, (a) the analytical solution can only account for piecewise constant material properties, and other resistivity distributions cannot be solved analytically, which prevents to accurately model, for example, and OWT zone when fluids are considered to be inmiscible; (b) a specific set of cumbersome formulas has to be derived for each physical process (e.g. electromagnetism, elasticity, etc.), anisotropy type, etc.; (c) analytical derivatives of specific models (e.g. cross-bedded formations, or derivatives with respect to the bed boundary positios) are often diffcult to obtain and have not been published to the best of our knowledge.

Understanding the energetic requirement of brain cells during resting state and during high neural activity is a very active research area where mathematical models have contributed significantly by providing a context for the interpretation of the experimental results. In this thesis, we present three new computational predictive mathematical models to elucidate several dynamics in the brain, comprising electrophysiological activity, cellular metabolism and hemodynamic response. Many computational challenges had to be addressed, mostly due to the very different characteristic times at which the electrical, metabolic and hemodynamic events occur. The first part of the thesis proposes a novel predictive mathematical electro-metabolic model connecting the electrophysiological activity and the metabolism through a double feedback mechanism based on energy demand and production. This model sheds light on the role of the glial potassium cleaning in brain energy metabolism by integrating a four compartment metabolic model with one describing in details the electrical activity. The results of computed experiments performed with this model for different protocols, namely awake resting state, transitions between resting state and neural activation and ischemic episodes are in agreement with experimental observations. In the second part of the thesis, the electro-metabolic model is expanded to comprise the brain hemodynamic response. This is attained through a triple feedback mechanism between the electrophysiology, metabolism and a three compartment hemodynamic model tracking the changes of cerebral blood flow and cerebral blood volume through arteries, capillaries and veins. During neuronal activation, the increase in extracellular potassium concentration triggers an increase in the cerebral blood flow and concurrently vasodilation, ensuring the supply of nutrients necessary for the metabolic response to sustain the increased energy demand. The ensuing hemo-electro-metabolic model provides a better insight on the transitions between resting state and neural activation. In the third and last part of the thesis, we propose a variant of the electro-metabolic model that adequately describes the changes in the brain in connection with cortical spreading depression (CSD) waves. In addition the dynamics of sodium and potassium, the new model accounts for chloride dynamics, the glutamate-glutamine cycle, as well as neuronal swelling accompanied by shrinkage of extracellular space. As illustrated with computed experiments, with this model it is possible to follow simultaneously the changes in ionic homeostasis, the alterations in the volumes of the cellular compartments and of the extracellular space, and large modifications in brain metabolism during cortical spreading depression waves. The model predictions, in agreement with findings reported in the experimental literature, show a large decrease in glucose and oxygen concentration and a significant increase in lactate concentration during the passing of cortical spreading depression waves.

Goal-Oriented Adaptivity (GOA) is a powerful tool to accurately approximate physically relevant features of the solution of Partial Differential Equations (PDEs). It delivers optimal grids to solve challenging engineering problems. In time dependent problems, GOA requires to represent the error in the Quantity of Interest (QoI) as an integral over the whole space-time domain in order to reduce it via adaptive refinements. A full space-time variational formulation of the problem allows the aforementioned error representation. Thus, variational space-time formulations for PDEs have been of great interest in the last decades, among other things, because they allow to develop mesh-adaptive algorithms. Since it is known that implicit time marching schemes have variational structure, they are often employed for GOA in time-domain problems. When coming to explicit-in-time methods, these were introduced for Ordinary Differential Equations (ODEs) employing specific inexact quadrature rules. In this dissertation, we prove that the explicit Runge-Kutta (RK) methods can be expressed as discontinuous-in-time Petrov-Galerkin (dPG) methods for the linear advection-diffusion equation. We systematically build trial and test functions that, after exact integration in time, lead to one, two, and general stage explicit RK methods. This approach enables us to reproduce the existing time-domain goaloriented adaptive algorithms using explicit methods in time. Here, we employ the lowest order dPG formulation that we propose to recover the Forward Euler method and we derive an appropriate error representation. Then, we propose an explicit-in-time goal-oriented adaptive algorithm that performs local refinements in space. In terms of time domain adaptivity, we impose the Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) condition to ensure the stability of the method. We provide some numerical results in one-dimensional (1D)+time for the diffusion and advection-diffusion equations to show the performance of the proposed algorithm. On the other hand, time-domain adaptive algorithms involve solving a dual problem that runs backwards in time. This process is, in general, computationally expensive in terms of memory storage. In this work, we define a pseudo-dual problem that runs forwards in time. We also describe a forward-in-time adaptive algorithm that works for some specific problems. Although it is not possible to define a general dual problem running forwards in time that provides information about future states, we provide numerical evidence via one-dimensional problems in space to illustrate the efficiency of our algorithm as well as its limitations. As a complementary method, we propose a hybrid algorithm that employs the classical backward-in-time dual problem once and then performs the adaptive process forwards in time. We also generalize a novel error representation for goal-oriented adaptivity using (unconventional) pseudo-dual problems in the context of frequency-domain wave-propagation problems to the time-dependent wave equation. We show via 1D+time numerical results that the upper bounds for the new error representation are sharper than the classical ones. Therefore, this new error representation can be used to design more efficient goal-oriented adaptive methodologies. Finally, as classical Galerkin methods may lead to instabilities in advection-dominated-diffusion problems and therefore, inappropriate refinements, we propose a novel stabilized discretization method, which we call Isogeometric Residual Minimization (iGRM) with direction splitting. This method combines the benefits resulting from Isogeometric Analysis (IGA), residual minimization, and Alternating Direction Implicit (ADI) methods. We employ second order ADI time integrator schemes, Bspline basis functions in space and, at each time step, we solve a stabilized mixed method based on residual minimization. We show that the resulting system of linear equations has a Kronecker product structure, which results in a linear computational cost of the direct solver, even using implicit time integration schemes together with the stabilized mixed formulation. We test our method in 2D and 3D+time advection-diffusion problems. The derivation of a time-domain goal-oriented strategy based on iGRM will be considered in future works.

En esta memoria estamos principalmente interesados en estudiar la conexi ón entre las curvas crí ticas para energ ías de tipo el ásticas adecuadas (lo que posteriormente llamaremos curvas el ásticas generalizadas) y las super cies invariantes que posean ciertas propiedades geom étricas interesantes (como por ejemplo, super cies de evoluci ón binormal, super ficies de curvatura media constante, super ficies de Weingarten lineales,...). Adem ás, se establecer á una conexi ón similar entre las superfi cies invariantes crí ticas para energ ías de tipo-Willmore (v éase la defi nici on de super ficies tipo-Willmore en la ágina XIII) y curvas el ásticas generalizadas.

Tesi lan honetan, tamaina handiko Orientazio Problemak ebazteko algoritmoak garatu ditugu. Orientazio Problema optimizazio konbinatorioko problema bat da: herri multzo bat eta hauen arteko distantzia emanik, herri bakoitzak bere saria duelarik, eta ibilbidearen distantzia osoaren murrizketa bat ezarririk, problemaren helburua sarien batura maximizatzen duen ibilbidea aurkitzean datza. Orientazio Problema ebazteko, algoritmo ebolutibo bat eta Branch-and-Cut algoritmo bat garatu ditugu. Algoritmo ebolutiboaren ezaugarri nagusienetako bat, soluzio ez bideragarriekin lan egitea da. Eragile genetikoen ikuspuntutik algoritmo honen ekarpen nagusia Orientazio Problemarentzako proposatutako Ertzen Birkonbinazio Gurutzaketa da. Beste ekarpen bat problema handiak ebazteko aproposa den bilaketa lokala da. Branch-and-Cut algoritmoak berriz, ziklo problementzako banantze algoritmoetan, banantze begiztan, aldagaien baloratzean, eta problemaren goi eta behe-mugen kalkuluan ditu ekarpen nagusiak. Aldi berean, ziklo problementzako algoritmo zehatzaren parte diren euskarri grafoen sinplifikazio teknika eta azpizikloak identifikatzeko separazio algoritmoak aztertu ditugu. Tamaina handiko problemekin, 7393 herrirainokoak, egindako esperimentuek erakusten dute bi algoritmoek primerako emaitzak lortzen dituztela, bai soluzioen kalitatearen aldetik eta bai algoritmoen azkartasunaren aldetik ere. ------ En esta tesis, hemos desarrollado algoritmos para resolver instancias de gran tamaño para el Problema de Orientación. El Problema de Orientación es un problema de optimización combinatoria en el cual, dado un grafo, con distancias asociadas en las aristas y premios en los vértices, y la restricción de longitud máxima de la ruta, el objetivo es maximizar la suma de recompensas de las ciudades visitadas. Para resolver el Problema de Orientación, hemos desarrollado un algoritmo evolutivo y un algoritmo Branch-and-Cut. La principal característica del algoritmo evolutivo es el uso de soluciones infactibles durante de la búsqueda. Desde el punto de vista de los operadores genéticos, la contribución más notable es el desarrollo del Cruce de Recombinación de Aristas para el Problema de Orientación. Otra contribución ha sido el desarrollo de una búsqueda local que permite abarcar problemas de gran tamaño. El algoritmo Branch-and-Cut incluye contribuciones en los algoritmos de separación para problemas de ciclos, en el bucle de separación, en la estimación de precios de las variables, y en el cálculo de las cotas inferiores y superiores del problema. Al mismo tiempo, generalizamos para problemas de ciclos, la contracción de grafos soporte y procedimientos para acelerar la separación exacta de las restricciones de eliminación de subciclos. Los experimentos llevados a cabo en problemas de gran tamaño, problemas de hasta 7393 nodos, muestran que ambos algoritmos obtienen resultados excelentes, en términos de la calidad de la solución y en términos del tiempo de ejecución. -------- In this thesis, we have developed algorithms to solve large-scale Orienteering Problems. The Orienteering Problem is a combinatorial optimization problem were given a weighted complete graph with vertex profits and a maximum distance constraint, the goal is to find the simple cycle which maximizes the sum of the profits of the visited vertices. To solve the Orienteering Problem, we have developed an evolutionary algorithm and a Branch-and-Cut algorithm. One of the key characteristics of the evolutionary algorithm is to work with unfeasible solutions. From the point of view of genetic operators, the main contribution has been the development of the Edge Recombination Crossover for the Orienteering Problem, which in a wider context it is also valid for any cycle problem. Another contribution has been the developed local search to handle large problems. The Branch-and-Cut algorithm includes new contributions in the separation algorithms of inequalities stemming from the cycle problem, in the separation loop, in the variables pricing, and in the calculation of the lower and upper bounds of the problem. At the same time, we have generalized for cycle problems the support graph shrinking techniques and procedures to speed up the exact separation algorithms for subcycle elimination constraints. The experiments carried out in large-sized instances, up to 7393 nodes, show that both algorithms achieve outstanding results, both in terms of the quality of solutions and in terms of the execution time.

Insulin-secreting pancreatic ß-cells are responsible for maintaining the whole body glucose homeostasis. Dysfunction or loss of ß-cell mass results in impaired insulin secretion and, in some cases, diabetes. In this dissertation, we present the Integrated Oscillator Model (IOM) that is one of the mathematical models used for the investigation of the mechanism behind bursting activity that underlies intracellular Ca2+ oscillations and pulsatile insulin secretion. The IOM describes the interaction of the cellular electrical activity and intracellular Ca2+ with glucose metabolism via numerous feedforward and feedback pathways. These interactions, in turn, produce metabolic oscillations with a sawtooth or pulsatile time course, reflecting different oscillation mechanisms. We determine conditions favorable to each type of oscillations, and show that the model accounts for key experimental findings of ß-cell activity. We propose several extensions of the model to include all the main elements involved in the insulin secretion. The latest and most sophisticated model describes the complex metabolism in the mitochondria and the several biological processes in the insulin exocytosis cascade. Finally, we use the new model to simulate the interaction among ß-cells (through gap junction) within the same islet. The simulations show that the electrical coupling is sufficient to synchronize the ß-cells within an islet. We also show that the amplitude of the oscillations in the insulin secretion rate is bigger when the ß-cells synchronize. ------------------------ Las células ß pancreáticas secretoras de insulina son responsables de mantener la homeostasis de la glucosa en todo el organismo. Una disfunción o p9rdida del conjunto de células ß provoca una secreción de insulina deficiente y, en algunos casos, diabetes. En esta tesis presentamos el Integrated Oscillator Model (IOM), que es uno de los modelos matemáticos utilizados para la investigación de los mecanismos detrás de la actividad de explosión que subyace bajo las oscilaciones de Ca2+ intracelular y la secreción de insulina pulsátil. El IOM describe la interacción de la actividad eléctrica celular y el Ca2+ intracelular con el metabolismo de la glucosa mediante numerosas rutas de realimentación prospectiva y retroalimentación. Estas interacciones, alternativamente, producen oscilaciones metabólicas con un curso del tiempo pulsátil o en zigzag, que reflejan distintos mecanismos de oscilación. Determinamos condiciones favorables para cada tipo de oscilación y demostramos que el modelo representa hallazgos experimentales fundamentales de la actividad de las células ß. Proponemos varias extensiones del modelo para incluir todos los elementos principales implicados en la secreci=n de insulina. El modelo m<s reciente y sofisticado describe el complejo metabolismo en la mitocondria y los varios procesos biol=gicos en la cascada de la exocitosis de la insulina. Por Fltimo, utilizamos el nuevo modelo para simular la interacción entre células ß (mediante conexión comunicante) dentro de un mismo islote. Las simulaciones indican que el acoplamiento eléctrico es suficiente para sincronizar las células ß dentro de un islote. También demostramos que la amplitud de las oscilaciones en la velocidad de secreción de la insulina es mayor cuando las células ß se sincronizan.

In this thesis, first, we propose a novel pseudospectral method to approximate accurately and efficiently the fractional Laplacian without using truncation. More precisely, given a bounded regular function defined over R, we map the unbounded domain into a finite one, and represent the resulting function as a trigonometric series. Therefore, a key ingredient is the computation of the fractional Laplacian of an elementary trigonometric function. As an application of the method, we do the simulation of Fisher¿s equation with the fractional Laplacian in the monostable case. In addition, using complex variable techniques, we compute explicitly, in terms of the 2F1 Gaussian hypergeometric function, the one-dimensional fractional Laplacian of the Higgins functions, the Christov functions, and their sine-like and cosine-like versions. After discussing the numerical difficulties in the implementation of the proposed formulas, we develop another method that gives exact results, by using variable precision arithmetic. Finally, we discuss some other numerical approximations of the fractional Laplacian using a fast convolution technique. While the resulting techniques are less accurate, they are extremely fast; furthermore, the results can be improved by the use of Richardson¿s extrapolation.

La tesis presentada viene dividida en dos partes: la primer parte está dedicada al estudio de los conmutadores y la segunda a los operadores maximales direccionales. Dentro de la teoría de los conmutadores nos enfocamos en dos tipos de operadores diferentes: los que surgen de conmutar integrales singulares con funciones de BMO y los que surgen de conmutar integrales fraccionarias con BMO. En el primer caso estudiamos la necesidad de BMO en el extremo en el contexto de la medida de Lebesgue. En el segundo caso nos enfocamos en conseguir cotas en el contexto de dos pesos, también incluyendo un resultado de necesidad de un espacio de BMO modificado para estas desigualdades. Finalmente la tesis incluye un resultado sobre las integrales singulares en direcciones, estos son operadores que surgen de considerar las integrales singulares actuando en rectas en un espacio euclídeo de mayor dimensión. Nuestro resultado se enfoca en probar una cota óptima en términos de la cantidad de direcciones para el caso en que el conjunto de direcciones tenga cierta estructura geométrica, que será ¿finite order lacunary¿.

Uno de los fenómenos más interesantes en la literatura sobre fluidos es la aparición y evolución de filamentos de vórtice. Algunos de sus ejemplos en el mundo real son los anillos de humo, los remolinos y los tornados. En el caso de un fluido ideal, se han propuesto varios modelos y ecuaciones para describir esta evolución, de entre los cuales la VFE (vortex filament equation) ha ganado protagonismo recientemente debido a su simplicidad y propiedades geométricas. La ecuación apareció por primera vez en el trabajo de Da Rios a principios del siglo XX como una aproximación de la dinámica de un filamento de vórtice. Este modelo generalmente se conoce como LIA (localized induction approximation). En este trabajo, examinamos la evolución de la VFE para curvas poligonales regulares desde un punto de vista numérico y teórico, tanto en la geometría euclidiana como en la hiperbólica. En la primera parte de la tesis, observamos la evolución de la VFE tomando polígonos regulares de M lados con torsión no nula como datos iniciales en el espacio euclidiano. Usando técnicas algebraicas, respaldadas por simulaciones numéricas, mostramos que las soluciones son polígonos en tiempos racionales, como en el caso de torsión nula. Sin embargo, a diferencia de ese caso, la evolución no es periódica en el tiempo, y además, la trayectoria multifractal de un punto no es plana y parece ser una hélice para tiempos grandes. Estas nuevas soluciones de la VFE pueden usarse para ilustrar numéricamente que sus soluciones regulares proporcionadas por hélices y líneas rectas comparten la misma inestabilidad que la establecida para los círculos. Esto se logra mostrando la existencia de variantes de la función no diferenciable de Riemann que están tan cerca de las curvas suaves como se desee, cuando se mide en la topología correcta. Esta topología está motivada por algunos resultados recientes que muestran que la VFE está bien definida y que sus soluciones tienen energía renormalizada finita. En el resto del trabajo, profundizamos en la configuración hiperbólica y examinamos la evolución de la VFE para un l-polígono plano, es decir, un polígono plano regular en el espacio de Minkowski. A diferencia del caso euclidiano, un l-polígono plano es abierto, lo que hace que el problema sea más complicado desde un punto de vista numérico. Después de probar varios métodos numéricos, concluimos que una discretización del espacio por diferencias finitas combinada con un método explícito de Runge--Kutta en tiempo brinda los mejores resultados numéricos tanto en términos de eficiencia como de precisión. Por otro lado, utilizando argumentos teóricos, recuperamos la evolución algebraicamente y, por lo tanto, mostramos que los dos enfoques concuerdan. Durante la evolución numérica, se ha observado que la trayectoria de una esquina es multifractal, y que a medida que el parámetro l tiende a cero, converge a la función no diferenciable de Riemann. Además, como en el caso euclidiano, proporcionamos pruebas numéricas sólidas para demostrar que en tiempos infinitesimales, la evolución de la VFE para un l-polígono plano como dato inicial puede describirse como una superposición de varios datos iniciales de una esquina. Como consecuencia, no solo podemos calcular la velocidad del centro de masa del lpolígono plano teóricamente, sino que la relación también revela propiedades importantes de la trayectoria de sus esquinas que comparamos con su equivalente en el caso euclidiano. Finalmente, una torsión no nula en el caso hiperbólico produce dos tipos diferentes de curvas poligonales helicoidales, que también podemos abordar con las técnicas numéricas y teóricas desarrolladas hasta ahora. Esto forma parte del trabajo futuro de la tesis.

This PhD thesis deals with the problem of the propagation of fronts under random circumstances. A statistical model to represent the motion of fronts when are evolving in a media characterized by microscopical randomness is discussed and expanded, in order to cope with three distinct applications: wild-land fire simulation, turbulent premixed combustion, biofilm modeling. In the studied formalism, the position of the average front is computed by making use of a sharp-front evolution method, such as the level set method. The microscopical spread of particles which takes place around the average front is given by the probability density function linked to the underlying diffusive process, that is supposedly known in advance. The adopted statistical front propagation framework allowed a deeper understanding of any studied field of application. The application of this model introduced eventually parameters whose impact on the physical observables of the front spread have been studied with Uncertainty Quantification and Sensitivity Analysis tools. In particular, metamodels for the front propagation system have been constructed in a non intrusive way, by making use of generalized Polynomial Chaos expansions and Gaussian Processes.

Monte Carlo simulation consists in computer experiments that involve creating data by pseudo-random sampling and has shown to be a powerful tool for studying the performance of statistical methods. In this thesis Monte Carlo simulation was used to improve statistical methodology related to three different fields of fisheries science: 1) Species distribution models (SDM) field, where focusing on regression-based models, we proposed using shape-constrained generalised additive models (SC-GAMs) to build SDMs in agreement with the ecological niche theory imposing concavity constraints in the linear predictor scale and testing their performance trough Monte Carlos simulation, 2) stock assessment models field, where uncertainty estimation methods for statistical catch-at-age models with non-parametric effects on fishing mortality were compared through simulation in addition to the comparison of two available stock assessment models to an ad-hoc Bayesian approach, and 3) management advice field, where a full-feedback management strategy evaluation (MSE) is developed for the sardine in the Bay of Biscay, incorporating the official Stoch Synthesis assessment model within the Monte Carlo simulation, and introducing gradually different sources of uncertainty such as process, parameter and observation error in order to study their effect in management advice. Monte Carlo simulation was an adequate tool to accomplish the objectives of this thesis that definitely could not have been achieved using only available real data or analytical solutions.

Equilibrium and Transport Properties of Quantum Many-Body Systems This thesis is a study of equilibrium and dynamical properties of macroscopic quantum many-body problems. An important part of the manuscript concerns the study of heat and charge transport properties of fermions on the lattice. This refers to the derivation, from first principles of quantum mechanics and thermodynamics, of the Ohm¿s law, first published in 1827 by G. S. Ohm, and of the heat equation, the well-known (classical) equation introduced by J. Fourier in 1807. A complete derivation of the heat equation from quantum mechanics is still not achieved, but we prove here some preliminary results on this non-trivial issue. By contrast, the study of charge transport properties of fermion systems on the lattice is largely developed in this thesis. In particular, we give a mathematical justification, for noninteracting free-fermions, of recent experiments (in 2006 and 2012) which have shown that the classical Ohm's law remains valid as atomic scales are reached even at very low temperature. Equilibrium state refers here to the notion of KMS state. We also set that the classical KMS condition can be derived from the (quantum) KMS condition for the so-called Bose-Hubbard model.

En esta tesis se estudian diversos problemas relacionados con las ecuaciones de Stokes y Navier Stokes en dominios acotados y con condiciones de contorno de Navier. Por una parte se han obtenido resultados de existencia de soluciones de la ecuación estacionaria de Stokes con condiciones de contorno de Navier y se han obtenido estimaciones uniformes con respecto del coeficiente de fricción. Ello ha permitido demostrar la convergencia de estas soluciones a las soluciones de la ecuación estacionaria de Stokes con condición de contorno de Dirichlet cuando el coeficiente de fricción converge a infinito. Con estos resultados sobre la ecuación estacionaria de Stokes se ha estudiado el problema para las ecuaciones de evolución de Stokes y Navier Stokes con condiciones de Navier. Se ha obtenido una teoría de semigrupos en espacios Lp que extiende los resultados conocidos correspondientes a otra condiciones de contorno (como Dirichlet o de tipo Navier). Se ha demostrado aquí también la convergencia de las soluciones de estas ecuaciones con condiciones de Navier a las soluciones de la misma ecuación con condiciones Dirichlet cuando el coeficiente de fricción tiende a infinito. En un último capítulo se han obtenido estimaciones uniformes, con respecto del parámetro de fricción, de la regularidad de las soluciones de un operador elíptico en forma de divergencia con condiciones de tipo Robin en un dominio cuya frontera es de clase C1.

Riemann's non-differentiable function is a classic example of a continuous but almost nowhere differentiable function, whose analytic regularity has been widely studied since it was proposed in the second half of the 19th century. But recently, strong evidence has been found that one of its generalisation to the complex plane can be regarded as the trajectory of a particle in the context of the evolution of vortex filaments. It can, thus, be given a physical and geometric interpretation, and many questions arise in these settings accordingly. It is the purpose of this dissertation to describe, study and prove geometrically and physically motivated properties of Riemann's non-differentiable function. In this direction, a geometric analysis of concepts such as the Hausdorff dimension, geometric differentiability and tangents will be carried out, and the relationship with physical phenomena such as the Talbot effect, turbulence, intermittency and multifractality will be explained.

Los temas de esta tesis se enmarcan en el área de la teoría geométrica de grupos, que es el estudio de grupos finitamente generados a través de la exploración de sus aspectos geométricos y topológicos. Más precisamente, nos centramos en una clase de grupos denominados grupos jerárquicamente hiperbólicos. La hiperbolicidad jerárquica es una noción muy reciente pero poderosa cuyo objetivo es proporcionar un marco unificador para estudiar grandes clases de grupos que tienen características similares a curvatura negativa y no positiva. Los primeros resultados originales de esta tesis aparecen en el capítulo segundo, donde se prueban una serie de resultados estructurales de naturaleza técnica. Se presentan allí dos nociones: intersection ÁREA LÍNEA 1 2 0 1 0 6 ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA property y concreteness. Estas condiciones se utilizan en varios lugares a lo largo del resto de la tesis y son cruciales para comprender los principales resultados que siguen. El primer resultado principal de la tesis es el establecimiento de un teorema de combinación para la clase de grupos jerárquicamente hiperbólicos. Por lo general, nos referimos a un resultado como un teorema de combinación en una clase de grupos C si responde a la siguiente pregunta: Sea G un grupo que actúa sobre un árbol simplicial T cuyos estabilizadores de vértices y aristas pertenecen a C, ¿bajo qué condiciones podemos concluir que el grupo C está en C? En nuestro caso, las condiciones que identificamos son intersection property y clean containers. Como aplicación de este teorema obtenemos que los productos bajo grafos de grupos jerárquicamente hiperbólicos con intersection property y clean containers son en sí mismos jerárquicamente hiperbólicos. En el último capítulo de la tesis nos centramos en la clase de grupos que actúan sobre un árbol simplicial de manera que los estabilizadores de aristas son virtualmente cíclicos. Llamamos a esta clase grupos hyperbolic-2-decomposable. El principal resultado de éste último capítulo es una caracterización de grupos de este tipo que nos permiten aportar una estructura hiperbólica jerárquica sobre ellos. Más precisamente, obtenemos que un grupo hyperbolic-2-decomposable es jerárquicamente hiperbólico si y solo si es equilibrado. Más aún, mostramos que esto es equivalente a que el grupo en sí no contenga subgrupos de tipo Baumslag-Solitar no equilibrados. Como corolario inmediato obtenemos que los productos libres amalgamados de grupos hiperbólicos sobre grupos virtualmente cíclicos son jerárquicamente hiperbólicos.

Las ecuaciones en derivadas parciales describen muchos fenómenos de interés práctico y sus soluciones suelen necesitar correr simulaciones muy costosas en clústers de cálculo. En el ámbito de los flujos turbulentos, en particular, el coste de las simulaciones es demasiado grande si se utilizan métodos básicos, por eso es necesario modelizar el sistema. Esta tesis doctoral trata principalmente de dos temas en Cálculo Científico. Por un lado, estudiamos nuevos desarrollos en la modelización y simulación de flujos turbulentos; utilizamos un Método de Elementos Finitos adaptativo y un modelo de ¿número de Reynolds infinito¿ para reducir el coste computacional de simulaciones que, sin estas modificaciones, serían demasiado costosas. De esta manera conseguimos lograr simulaciones evolutivas de flujos turbulentos con número de Reynolds muy grande, lo cual se considera uno de los mayores retos en aerodinámica. El otro pilar de esta tesis es una aplicación biomédica. Desarrollamos un modelo computacional de Ablación (Cardiaca) por Radiofrecuencia, una terapia común para tratar varias enfermedades, por ejemplo algunas arritmias. Nuestro modelo mejora los modelos existentes en varias maneras, y en particular en tratar de obtener una aproximación fiel de la geometría del sistema, lo cual se descubre ser crítico para simular correctamente la física del fenómeno.

Zuhaitz d-adiko errotuen automorfismoen taldeak sakonki aztertuak izan dira azken urteetan, propietate interesgarriak dituzten taldeen iturri aberatsa baitira. Esate baterako, horien azpitalde asko Burnsideren Problema Orokorraren kontra adibideak dira. Engelen taldeen alorrean, Burnsideren Problema Orokorraren analogoa Engelen taldeak lokalki nilpotenteak diren edo ez aztertzea da. Tesi honetan, Engelen baldintzaren inguruan izan diren azken emaitzak azalduko ditugu eta Engelen elementuak aztertuko ditugu zuhaitz errotuen automorfismoen taldeen familia berezi batzuetan: talde fraktaletan eta talde adarkatuetan esaterako. Lehenik, Bartholdik hasi zuen Grigorchuken taldearen Engelen elementuen deskribapena amaituko dugu. Ondoren, talde fraktalen eta talde (ahulki) adarkatuen taldeak kontsideratuko ditugu. Talde fraktalei dagokienez, bihurdura gabeko abelianizazioa badute Engelen elementu ez-tribialik ez dutela frogatuko dugu. Bestalde, ikuspuntu guztiz berri batekin, bihurdura taldeak ez diren talde adarkatuek Engelen elementu ez-tribialik ez dutela ere ikusiko dugu eta, gainera, ezkerreko Engel elementuen inguruan emaitza ezberdinak frogatuko ditugu talde adarkatua bihurdura taldea denean. Honela, talde ahulki adarkatuek ezkerreko Engelen elementu bornatu ez-tribialik ez dutela frogatuko dugu eta, baldintza batzuk gehituz, eskuineko Engelen elementuekin gauza bera gertatzen dela ikusiko dugu. Emaitza guzti hauek, talde fraktalen eta talde (ahulki) adarkatuen familian aurki daitezkeen talde berezi batzuetan aplikatuko ditugu, besteak beste, Basilica taldean, (multi-)GGS-taldeetan, Hanoi Dorrearen taldean, automorfismo finitarioen taldean eta AutT talde osoan.

La presente tesis incluye 3 contribuciones de diferentes tipos al área de la clasificación supervisada de series temporales, un campo en auge por la cantidad de series temporales recolectadas día a día en una gran variedad en ámbitos. En este contexto, la cantidad de métodos disponibles para clasificar series temporales es cada vez más grande, siendo los clasificadores cada vez más competitivos y variados. De esta manera, la primera contribución de la tesis consiste en proponer una taxonomía de los clasificadores de series temporales basados en distancias, donde se hace una revisión exhaustiva de los métodos existentes y sus costes computacionales. Además, desde el punto de vista de un/a usuario/a no experto/a (incluso desde la de un/a experto/a), elegir un clasificador adecuado para un problema concreto es una tarea difícil. En la segunda contribución, por tanto, se aborda la recomendación de clasificadores de series temporales, para lo que usaremos un enfoque basado en el meta-aprendizaje. Por último, la tercera contribución consiste en proponer un método para explicar la predicción de los clasificadores de series temporales, en el que calculamos la relevancia de cada región de una serie en la predicción. Este método de explicación está basado en perturbaciones, para lo que consideraremos transformaciones específicas y realistas para las series temporales.

This thesis focuses on studying equations related to a model problem derived in a Shallow-Water limit. These equations are non-local higher-order regularisations of a scalar conservation law with, typically, either a quadratic or a cubic non-linear flux. It is known that hyperbolic conservation laws exhibit discontinuous solutions and, in general, weak solutions are non-unique. The classical way to derive uniqueness for such systems is by regularising with viscous terms, typically of second order, and then perform the vanishing viscosity limit. However, other type of regularisations may arise depending on the physical or modelling set-up. An example of such regularised equations is the model just mentioned. This is a generalised Korteweg-de Vries-Burgers equation with a non-local linear diffusion, which is an operator of the Riesz-Feller type, and a local and linear dispersion term. It is the aim of this thesis to advance in the analysis of this particular model. First, the purely viscous version of the equation is studied and the vanishing viscosity limit is proved applying the double scale technique of Kru¿kov. Subsequently, a generalisation of this result to a more general Riesz-Feller operator is given as well as the asymptotic behaviour of travelling wave solutions in the tail. The second part of the thesis is devoted to proving the existence of travelling waves for the full model with a cubic non-linearity. The existence of waves that violate the classical Lax condition is shown. Formally, these solutions would ensue in the limit of vanishing diffusion and dispersion, at the right rate, and give rise to non-classical shocks. The work is completed with a study of large time behaviour in the purely viscous case. It is concluded that, for the sub-critical case of a paradigm locally Lipschitz flux, the large time asymptotic behaviour is given by the unique entropy solution of the scalar conservation law.

In this Ph.D. thesis, we give some contributions to the theory of singularities, as well as to the theory of characteristic classes of singular spaces. The first part of this thesis is devoted to the theory of singularities of mappings. We obtain formulas for an important analytical invariant, the image Milnor number of a map-germ. The first contribution is a version of the Lê-Greuel formula for the image Milnor number for corank 1 map-germs, which gives a recursive method to compute it. This work is in collaboration with my Ph.D. supervisor J. J. Nuño. In the second work of this thesis, we obtain two formulas for the image Milnor number for weighted-homogeneous map-germs for dimensions four and five. These formulas are obtained by combining the theory of characteristic classes of singular spaces with a recursive method through examples of singularities. This work is in collaboration with Prof. G. Peñafort. The last part which composes the main work of this Ph.D. thesis is the proof for projective varieties of the Brasselet-Schürmann-Yokura conjecture. This conjecture is within the theory of characteristic classes of singular spaces. Characteristic classes of singular varieties are homology classes generalizing the classical cohomological characteristic classes of manifolds. The conjecture states that two different characteristic classes coincide for compact complex algebraic varieties that are rational homology manifolds. This work is in collaboration with my Ph.D. supervisor J. Fernández de Bobadilla. This conjecture is the characteristic class version for rational homology manifolds of the famous Hodge Index Theorem which computes the signature of a compact complex manifold in terms of Hodge numbers.

En esta tesis se obtienen diversas estimaciones con pesos cuantitativas para integrales singulares, conmutadores de dichas integrales singulares y ciertas extensiones vectoriales. En particular se obtendrán desigualdades de tipo fuerte y débil (p,p), desigualdades de tipo Coifman-Fefferman y de tipo Fefferman- Stein, desigualdades de tipo Bloom y estimaciones en el extremo. En el caso de las desigualdades de tipo Bloom se obtendrá además una condición necesaria para cierta clase de operadores singulares. En la mayoría de nuestros resultados nos apoyaremos en técnicas de dominación sparse que también serán presentadas y desarrolladas en la tesis. En el último capítulo se presentará una aplicación adicional de la dominación sparse para obtener nuevos resultados y nuevas pruebas acerca del decaimiento exponencial local para los operadores arriba mencionados.

Un sampleo eficiente es clave para el éxito de las simulaciones moleculares de sistemas físicos complejos. Hybrid Monte Carlo 8HMC) es una herramienta prometedora que ofrece una propagación inteligente y libre de errores de discretización en el espacio de fases, un control riguroso de la temperatura y flexibilidad. Sin embargo, HMC es incapaz de proporcionar información de la dinámica del sistema y tiende a fallar al aumentar la dimensión del sistema a simular. En esta tesis, demostramos que el rendimiento de HMC puede mejorar dramáticamente introduciendo aplitting numerical integrators e importance sampling. En resumen, proponemos nuevos algorimos numéricos que son capaces de mejorar la precisión y la eficiencia del sampleo de simulaciones moleculares utilizando métodos tipo Hybrid Monte Carlo. Así demostramos que equipar al algortimo Hybrid Monte Carlo con características adicionales lo convierte en un sampleador más inteligente y, sin lugar a dudas, un serio competidor de los métodos populares en simulaciones moleculares como molecular dynamics y Monte Carlo. Los algoritmos desarrollados en esta tesis están implementados en una versión, desarrollada en nuestro grupo del popular software GROMACS. Dicho software es capaz de correr simulaciones de sistemas complejos en supercomputadores.

The two hallmark features of Brownian motion are the linear growth of the mean squared displacement (MSD) with diffusion coefficient D in d spatial dimensions, and the Gaussian distribution of displacements. With the increasing complexity of the studied systems deviations from these two central properties have been unveiled over the years. Recently, a large variety of systems have been reported in which the MSD exhibits the linear growth in time of Brownian (Fickian) transport, however, the distribution of displacements is pronouncedly non-Gaussian (Brownian yet non- Gaussian, BNG). A similar behaviour is also observed for viscoelastic-type motion where an anomalous trend of the MSD is combined with a priori unexpected non- Gaussian distributions (anomalous yet non-Gaussian, ANG). This kind of behaviour observed in BNG and ANG diffusions has been related to the presence of heterogeneities in the systems and a common approach has been established to address it, that is, the random diffusivity approach. This dissertation explores extensively the field of random diffusivity models. Starting from a chronological description of all the main approaches used as an attempt of describing BNG and ANG diffusion, different mathematical methodologies are defined for the resolution and study of these models. The processes that are reported in this work can be classified in three subcategories, i) randomly-scaled Gaussian processes, ii) superstatistical models and iii) diffusing diffusivity models, all belonging to the more general class of random diffusivity models. Eventually, the study focuses more on BNG diffusion, which is by now wellestablished and relatively well-understood. Nevertheless, many examples are discussed for the description of ANG diffusion, in order to highlight the possible scenarios which are known so far for the study of this class of processes. The second part of the dissertation deals with the statistical analysis of random diffusivity processes. A general description based on the concept of momentgenerating function is initially provided to obtain standard statistical properties of the models. Then, the discussion moves to the study of the power spectral analysis and the first passage statistics for some particular random diffusivity models. A comparison between the results coming from the random diffusivity approach and the ones for standard Brownian motion is discussed. In this way, a deeper physical understanding of the systems described by random diffusivity models is also outlined. To conclude, a discussion based on the possible origins of the heterogeneity is sketched, with the main goal of inferring which kind of systems can actually be described by the random diffusivity approach.

En esta tesis se ha desarrollado un nuevo método de integración en tiempo de tipo ¿derivadas sucesivas¿ (multiderivative), llamado ABS y basado en el algoritmo de Adomian. Su motivación radica en la reducción del coste de simulación para problemas en aeroacústica, muy costosos por su naturaleza transitoria y requisitos de alta precisión. El método ha sido satisfactoriamente empleado en ambas partes de un sistema híbrido, donde se distinguen la parte aerodinámica y la acústica. En la parte aerodinámica las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles son resueltas con un método de proyección clásico. Sin embargo, la fase de predicción de velocidad ha sido modificada para incluir el método ABS en combinación con dos métodos: una discretización espacial MAC de volúmenes finitos, y también con un método de alto orden basado en ADER. El método se ha validado respecto a los problemas (en 2D) de vórtices de Taylor-Green, y el desarrollo de vórtices de Karman en un cilindro cuadrado. La parte acústica resuelve la propagación de ondas descritas por las ecuaciones linearizadas de Euler, empleando una discretización de Galerkin discontinua. El método se ha validado respecto a la ecuación de Burgers. El método ABS es sencillo de programar con una formulación recursiva. Los resultados demuestran que su sencillez junto con sus altas capacidades de adaptación lo convierten en un método fácilmente extensible a ordenes altos, a la vez que reduce el coste comparado con otros métodos clásicos.

En esta tesis, se desarrollan varios temas dentro del análisis armónico. El primer tema tiene que ver con los pesos de clase Cp. Por un lado, estudiamos propiedades intrínsecas de estos pesos, como la desigualdad débil de tipo Hölder inversa, para la que encontramos un exponente óptimo. Entre otras propiedades que estudiamos se encuentra la falta de automejora propia de otras clases de pesos. Por otro lado, estudiamos desigualdades en norma para operadores de diferente clase en espacios de medida Cp. Para ello introducimos una manera de cuantificar estas desiguadades en términos del peso Cp. El segundo tema está relacionado con espacios de tipo BMO. Demostramos diversas extensiones del teorema de John-Nirenberg, lo que constituye una mejora de la teoría clásica de estos espacios. Asimismo, damos un resultado de automejora que permite relajar la condición BMO a otras condiciones intregrales más suaves en términos de integrabilidad de Orlicz, y esto lo hacemos no sólo en el espacio euclídeo sino en otros contextos geométricos más generales. El tercer y último tema general tiene que ver con capacidades de Hajlasz. Introducimos este concepto nuevo en términos de gradientes de Hajlasz, que se comportan como derivadas fraccionarias globales. Demostramos que la condición de densidad de capacidad de Hajlasz introducida es automejorable por partida doble, en el orden de derivación y en el orden de integrabilidad. El contexto geométrico en el que trabajamos es el de espacios métricos generales con medidas doblantes, pero necesitamos restricciones de conectividad para que se cumplan las condiciones. Condiciones similares eran conocidas en el espacio euclídeo pero desconocidas en espacios métricos generales.

In 1948, Claude Shannon introduced coding theory. From a mathematical point of view, linear codes are submodules in which a metric is defined. Some examples of these are Goppa codes and Gabidulin codes, originally defined over finite fields, hence being vector subspaces with a specific metric. When considering codes over rings, however, the amount of codes available in the bibliography is considerably more reduced. Some examples of these are Kerdock and Preparata codes, which can be seen as codes over the quaternary ring. In the first part of this PhD thesis, we generalise both of Goppa and Gabidulin codes to Galois rings, and study some of their properties and relations to the originals. One of the most remarkable applications of coding theory is the McEliece cryptosystem from 1978, which exploits the hardness of the mathematical problem of, given an element in a vector space, finding its closest vector belonging to a given random linear subspace. In the final part of this thesis, we study the security of a ring version of the same cryptosystem with the previously mentioned codes in its core. This security relies mainly in two points: the computational hardness of a ring version of the mathematical problem described above, and the problem of distinguishing the given submodule from a randomly generated one. We prove that the former remains hard, while the latter fails for some of the codes presented in the first part. This cryptosystem (in its binary version) is also known for being one of the few classical cryptographic schemes resisting attacks from a quantum computer. This has led us to propose a quantum attack on the cryptosystem by modelling the previously mentioned mathematical problem as an optimisation problem.

En esta tesis se ha desarrollado el modelo bio-económico de simulación pesquera FLBEIA y se han definido una serie de direcciónes para validarlo y fomentar la validación de los modelos de simulación pesquera. El modelo FLBEIA da respusta a la necesidad de modelos de este tipo identificada en el marco de los análisis de impacto llevado a cabo por la Comisión Europea para anticipar la eficacia de las estrategias de gestión pesquera. La modelización de la incertidumbre ha sido un punto clave en el desarrollo del modelo FLBEIA sigue la aproximación de evaluación de estrategias de gestión que formaliza la incorporación de la incertidumbre en el proceso de toma de decisiones. Al ser los modelos de simulación abtracciones de la realidad, no son capaces de describir el sistema real de manera perfecta y es necesario validarlos para asegurar que representan el sistema modelado de manera idónea. El análisis de sensibilidad global es una de las técnicas cuantitativas más utilizadas en la validación de modelos de simulación. Sin embargo, su uso en modelos pesqueros es escaso. El conjunto de directrices definitivas en esta tesis permite condicionar los modelos pesqueros de manera efectiva y combinar dos de los métodos de análisis de sensibilidad global más utilizados. La combinación de estos métodos permite identificar los factores de entrada que más impactan en los resultados del modelo con un coste computacional aceptable para disponer de un modelo reducido al cual poder aplicar posteriormente el método más costoso. El modelo FLBEIA y las directrices propuestas se han aplicado a la pesquería demersal que opera en la fachada atlántica de la península ibérica.

Las desigualdades de Poincare¿-Sobolev son herramientas muy potentes en ana¿lisis matema¿tico que han sido ampliamente utilizadas para el estudio de ecuaciones diferenciales y su validez esta¿ i¿ntimamente relacionada con la geometri¿a del espacio ambiente. En particular, dada su aplicabilidad como parte del me¿todo de iteracio¿n de Moser, sus versiones con pesos resultan de intere¿s para aplicaciones. El objetivo de esta tesis es presentar un estudio autocontenido de las desigualdades de Poincare¿- Sobolev, la teori¿a de pesos y la combinacio¿n de ambas en el marco de la teori¿a abstracta de automejora de desigualdades de Poincare¿-Sobolev generalizadas. Con este fin, se introducen los aspectos ba¿sicos de la teori¿a de las desigualdades de Poicare¿-Sobolev y de la teori¿a de pesos de Muckenhoupt. En relacio¿n con estos, se estudia la clase de las funciones con oscilaciones medias acotadas, junto con una caracterizacio¿n de estas por medio de algunos resultados de acotacio¿n para conmutadores de integrales fraccionarias. Se utilizan nuevas te¿cnicas de automejora para llevar a cabo un estudio unificado de las desigualdades de Poincare¿-Sobolev cla¿sicas y fraccionarias con pesos, adema¿s de un estudio de los pesos de Muckenhoupt en relacio¿n con las funciones con oscilaciones medias acotadas.

A pesar de la creciente presencia de las matemáticas en el resto de ciencias, y en particular, en las ciencias biomédicas, a día de hoy la relación entre ambas sigue viéndose como una rareza. Sin embargo, ésta debería considerarse como una nueva oportunidad para dar soluciones eficientes a los problemas más relevantes de la humanidad, a saber, los que afectan a la salud de todos. En esta tesis, hemos profundizado en dicha relación, aplicando las matemáticas al diseño computacional de vacunas. En particular, hemos presentado un criterio para el diseño computacional de vacunas que permite tener en cuenta características biológicas al realizar la búsqueda de candidatos, al mismo tiempo que protege contra todas las variantes del virus consideradas. Esta metodología ha sido testada experimentalmente en un candidato a vacuna contra el SARS-CoV-2. Además, hemos realizado otro estudio donde se ha diseñado una vacuna personalizada contra el melanoma, y la hemos testado ex vivo, corroborando la eficiencia de las técnicas cuantitativas en el diseño de vacunas. Como resultado, en esta tesis presentamos tres publicaciones donde se han utilizado las matemáticas en el diseño de vacunas, que posteriormente se han testado, ofreciendo resultados prometedores. A través de dichos trabajos, se espera evidenciar la sinergia (cada vez más difícilmente discutible) entre las ciencias exactas y las ciencias de la salud.

Los gliomas forman el subtipo más prevalente, agresivo e invasivo de tumores cerebrales primarios, caracterizados por una rápida proliferación celular y una ele- vada capacidad de infiltración. A pesar de los avances de la investigación clínica, estos tumores suelen ser resistentes al tratamiento; la supervivencia media oscila en- tre 9 y 12 meses, siendo la recurrencia la principal causa de mortalidad. La migración y la invasión de los gliomas en el cerebro son fenómenos complejos y aún se decono- cen varios de los mecanismos subyacentes que guían la progresión de estos tumores. En esta tesis, proponemos varios modelos matemáticos para estudiar diversos as- pectos de la progresión del glioma en relación con las escalas microscópicas y macros- cópicas que caracterizan este proceso. Considerar el carácter intrínsico multiescala de la evolución del glioma permite definir modelos basados en sistemas dinámicos, ecuaciones cinéticas y EDP macroscópicas con diferentes roles dependiendo de los fenómenos a estudiar. Uno de los objetivos principales de esta tesis es integrar datos biológicos y clínicos con los modelos matemáticos. Los datos experimentales utiliza- dos se han obtenido de imágenes por resonancia magnética, de imágenes con tensor de difusión del cerebro humano y de análisis de inmunofluorescencia in-vivo de dis- tribuciones de varias proteínas en Drosophila, un modelo fiable para el estudio de la dinámica del glioblastoma. Analizamos las características de anisotropía del tejido nervioso, utilizando los datos del tensor de difusión, y la influencia de la estructura de las fibras en la dinámica de las células tumorales. Mostramos cómo la red de fibras guía la migración celular a lo largo de rutas preferenciales, reproduciendo los patrones ramificados y heterogé- neos típicos de la evolución del glioma; asimismo, demostramos cómo los tratamien- tos multimodales pueden reducir este comportamiento. Estudiamos la interdependencia entre la acidez del microambiente y la vasculari- zación en el proceso de angiogénesis tumoral. Para ello, construimos un modelo capaz de reproducir la influencia de estos mecanismos en el desarrollo de la heterogeneidad intratumoral y de características típicas de la progresión del glioma relacionadas con la hipoxia (e.g. la necrosis). Este estudio permite formular una clasificación de los tumores basada en el nivel de necrosis, así como la investigación de terapias multimodales que incluyan efectos anti-angiogénicos. Investigamos la influencia de las protrusiones celulares desde una perspectiva no local. Analizamos su rol en el fenómeno de la guía por contacto y en la manifestación de efectos colaborativos o competitivos entre dos estímulos que determinan cambios de dirección de la velocidad celular. Utilizando el análisis experimental de las distribuciones de varias proteínas, eva- luamos la relación de las protrusiones celulares con las integrinas y las proteasas como principales mecanismos de progresión del glioblastoma. Mostramos cómo las interac- ciones bioquímicas y biomecánicas de estos agentes dan como resultado el desarrollo de frentes de propagación tumoral, que pueden presentar una evolución dinámica y heterogénea en relación a los cambios ambientales.

Tesi hau hiru zatitan banatuta dago, horietako bakoitzak p-talde finituen eta pro-p taldeen teoriaren hainbat alderdi lantzen dituelarik. Lehenengo zatian, ondorengo problema aztertzen da: izan bitez G taldea eta w hitza; zein baldintzatan dator bat G-ren w-rekiko hitzezko azpitaldea w-balioen multzoarekin? Problema hori talde askearen azpitalde deribatuko zenbait hitzentzat aztertuko da, kommutadore hitzarentzat, hitz zentral beherakorrentzat eta kanpo kommutadore orokorrentzat alegia, hipotesi gehigarri batekin: G p-talde finitu bat izatea. Bigarren zatian, dimentsio fraktal ezberdinak aztertzen dira talde profinituetan, arreta berezia jarriz Hausdorffen dimentsio funtzioan. Azken hamarkadetan, Hausdorffen dimentsio funtzioak aplikazio interesgarriak eman ditu testuinguru horretan, horiek guztiak Barnea eta Shalev-en formula aitzindarian oinarrituta. Formula horren arabera, G talde profinitu baten H azpitalde itxi baten Hausdorffen dimentsioa H-k G-n duen "dentsitate logaritmikotzat'' har daiteke. Alde batetik, formula hori orokortuko dugu, eta bestetik, G-ren filtrazio serie batekiko Hausdorffen espektro normalaren nozioan jarriko dugu arreta. Azkenik, tesiaren hirugarren zatian, bi talde mota berri aurkezten dira: p-talde boteretsuki ebazgarriak eta p-talde boteretsuki bakunak. Talde horiek p-talde boteretsuak dira eta, nolabait, talde ebazgarri finituek eta talde bakun finituek talde finitu guztien klasean duten "papera'' betetzen dute, hurrenez hurren. Talde horiei buruzko emaitza eta sailkapen batzuk emango ditugu, Jordan-Hölder motako teorema bat barne. Horretarako, interes berezia izango du talde boteretsu jakin batzuen kategoriaren eta Fp-ren gaineko aljebra alternatuen kategoriaren arteko korrespondentziak.

Groups acting on p-adic trees have been well studied over the past decades since they represent a source of examples with interesting properties in group theory. Groups with intermediate growth or counterexamples to the General Burnside Problem can be found inside this class of groups. In this thesis we analyze some properties concerning the structures of two families of groups acting over primary regular rooted trees, i.e. regular rooted trees such that every vertex has a number of descendants equal to a power of a prime. These two families are the GGS-groups acting over the p^n-adic tree and the p-Basilica groups, a generalization of the Basilica group over the p-adic tree for a prime p. A GGS-group over the p^n-adic tree is defined by a vector e whose components are elements in Z/p^nZ. Depending on the defining vector of the GGS-group, we determine which of them are branch. We reduce our study to the fractal GGS-groups, since the non-fractal ones cannot be branch. We prove that all of them, except the ones acting over the 2^n-adic tree whose defining vectors have only one invertible component in position 2^{n-1}, are weakly regular branch. The GGS-groups with constant defining vector are weakly regular branch but not branch. For the other GGS-groups, we prove that they are all regular branch with some small exceptions for which the question is still open. The p-Basilica groups are weakly branch but not branch for any prime p. These provide the first examples of groups with these properties that are super strongly fractal. For this class of groups we also study other problems. We show that they have the p-congruence subgroup property but not the congruence subgroup property nor the weak congruence subgroup property, providing the first examples of weakly branch groups with such properties. We compute the orders of the congruence quotients of these groups, which enables us to determine the Hausdorff dimensions of the p-Basilica groups. Lastly, we show that the p-Basilica groups do not possess maximal subgroups of infinite index and that they have infinitely many non-normal maximal subgroups.

In this tesis we present various results concerning homogenisation of nematic liquid crystals: two of them are in perforated domains, while the other one concerns rates of convergence for boundary homogenisation. The first work described in this thesis is a ¿-convergence result for the Landau-de Gennes model in 3D domains with connected perforations. The goal of the analysis is to find new terms in the energy functional that are independent of the gradient. The second result is an error estimate for a 2D toy model used to describe rugosity effects in nematic liquid crystals via homogenisation problems, using once again the Landaude Gennes model. The last problem is a local L2-convergence result for a homogenisation problem in ¿¿¿ with isolated perforations. Here we use the Oseen- Frank model, with the goal of finding new gradient-dependent terms in the energy functional.

High throughput phenotyping (HTP) platforms and devices are increasingly used to characterise growth and developmental processes for large sets of plant genotypes. This dissertation is motivated by the need to accurately estimate genetic effects over time when analysing data from such HTP experiments. The HTP data we deal with here are characterised by phenotypic traits measured multiple times in the presence of spatial and temporal noise and a hierarchical organisation at three levels (populations, genotypes within populations, and plants within genotypes). To that aim, we propose two approaches. The first proposal divides the problem into two stages. The first stage (spatial model) focuses on correcting the phenotypic data for experimental design factors and spatial variation, while the second stage (hierarchical longitudinal model) aims to estimate the evolution over time of the genetic signal. The second proposal is to face the problem simultaneously (one-stage approach). That is, modelling the longitudinal evolution of the genetic effect on a given phenotypic trait while accounting for the temporal and spatial effects of environmental and design factors (spatio-temporal hierarchical model). We follow the same modelling philosophy throughout the thesis and propose multidimensional P-spline-based hierarchical approaches. The challenge is to balance efficient statistical models and computational solutions to deal with the complexity and dimensionality of the experimental data. We provide the user with appealing tools that take advantage of the sparse model matrices structure to reduce computational complexity. All our codes are publicly available on the R-package statgenHTP and https://gitlab.bcamath.org/dperez/htp_one_stage_approach. We illustrate the performance of our methods using spatio-temporal simulated data and data from the PhenoArch greenhouse platform at INRAE Montpellier and the outdoor Field Phenotyping platform at ETH Zürich. In the plant breeding context, we show how to extract new time-independent phenotypes for genomic selection purposes.

En esta tesis se desarrolla la teoría de grupos analíticos sobre pro-p dominios generales. Por un lado se desarrollan exhaustivamente conceptos estructurales básicos de dicha teoría, tales como las álgebras de Lie asociadas, las subvariedades o los cocientes analíticos. Por otro lado, se estudian varias propiedades de la teoría de grupos en el contexto de los grupos analíticos profinitos, a saber, la linealidad, los problemas de palabras y las dimensiones fractales.

El subsuelo terrestre está formado por diferentes materiales, principalmente por rocas porosas que posiblemente contienen minerales y están rellenas de agua salada y/o hidrocarburos. Por lo general, las formaciones que crean estos materiales son irregulares y con materiales de diferentes propiedades mezclados en el mismo estrato. Uno de los principales objetivos en geofísica es determinar las propiedades petrofísicas del subsuelo de la Tierra. De este modo, las compañías pueden determinar la localización de las reservas de hidrocarburos para maximizar su producción o descubrir localizaciones óptimas para el almacenamiento de hidrógeno o el depósito de CO$_2$. Para este propósito, las compañías registran mediciones electromagnéticas utilizando herramientas de Medición Durante Perforación (LWD por sus siglas en inglés -- Logging While Drilling), las cuales son capaces de recabar datos mientras se lleva a cabo el proceso de prospección. Los datos obtenidos se procesan para producir un mapa del subsuelo de la Tierra. Basándose en el mapa generado, el operador ajusta en tiempo real la trayectoria de la herramienta de prospección para seguir explorando objetivos de explotación, incluidos los yacimientos de petróleo y gas, y maximizar la posterior productividad de las reservas disponibles. Esta técnica de ajuste en tiempo real se denomina geo-navegación. Hoy en día, la geo-navegación desempeña un papel esencial en geofísica. Sin embargo, requiere la resolución de problemas inversos en tiempo real. Esto supone un reto, ya que los problemas inversos suelen estar mal planteados. Existen múltiples métodos tradicionales para resolver los problemas inversos, principalmente, los métodos basados en el gradiente o en la estadística. Sin embargo, estos métodos tienen graves limitaciones. En particular, a menudo necesitan calcular el problema inverso cientos de veces para cada conjunto de mediciones, lo que es computacionalmente caro en problemas tridimensionales (3D). Para superar estas limitaciones, proponemos el uso de técnicas de Aprendizaje Profundo (DL por sus siglas en inglés -- Deep Learning) para resolver los problemas inversos. Aunque la etapa de entrenamiento de una Red Neuronal Profunda (DNN por sus siglas en inglés Deep Neural Network) puede requerir mucho tiempo, una vez que la red está correctamente entrenada puede predecir la solución en una fracción de segundo, facilitando las operaciones de geo-navegación en tiempo real. En la primera parte de esta tesis, investigamos las funciones de pérdida apropiadas para entrenar una DNN cuando se trata de un problema inverso. Además, para entrenar adecuadamente una DNN que se aproxime a la solución inversa, necesitamos un gran conjunto de datos que contenga la solución del problema directo para muchos modelos terrestres diferentes. Para crear dicho conjunto de datos, necesitamos resolver una Ecuación en Derivadas Parciales (PDE por sus siglas en inglés -- Partial Differential Equation) miles de veces. La creación de un conjunto de datos puede llevar mucho tiempo, especialmente para los problemas bidimensionales y tridimensionales, ya que la resolución de la PDE mediante métodos tradicionales, como el Método de Elementos Finitos (FEM por sus siglas en inglés -- Finite Element Method), es computacionalmente caro. Por lo tanto, queremos reducir el coste computacional de la construcción de la base de datos necesaria para entrenar la DNN. Para ello, proponemos el uso de métodos de Análisis Isogeométrico refinado (rIGA por sus siglas en inglés -- refined Isogeometric Analysis). Además, exploramos la posibilidad de utilizar técnicas de DL para resolver PDE, que es la limitación computacional principal al resolver problemas inversos. Nuestro objetivo principal es desarrollar un simulador rápido para resolver PDE paramétricas. Como primer paso, en esta tesis analizamos los problemas de cuadratura que aparecen al resolver PDE utilizando DNN y proponemos diferentes métodos de integración para superar estas limitaciones.

Complex survey data are becoming increasingly well-known among researchers from different fields, including social and health sciences. This type of data is obtained by sampling the target population through a complex sampling design. One of the characteristics of this kind of data compared to simple random samples, are the sampling weights, which indicate the number of units that each sampled observation represents in the population. However, the role of sampling weights when modelling complex survey data has generated a large debate over the years. In this thesis, we analyze the impact that sampling weights have in the development process of prediction models for survey data obtained based on complex sampling designs. In particular, we have made advances in the context of estimation of logistic regression model parameters, variable selection, estimation of the discrimination ability and classification of individuals. The validity of the new design-based proposals has been analyzed by means of extensive simulation studies in which we compare their performance to the traditional unweighted techniques. In addition, the design-based proposals have been applied to real complex survey data and implemented in two R-packages (wlasso and wROC) that are freely available.

Se introduce una familia infinita de grupos de permutación, los cuales son los grupos completos de automorfismos de dos familias diferentes de grafos dirigidos fuertemente regulares. Para ambas familias, identificamos un subgrupo cíclico del grupo de permutación que actúa de manera semirregular en el conjunto de vértices del grafo dirigido, generando dos órbitas. Además, se investiga la utilidad de cuasi-matrices de diferencias frente a las matrices de diferencias para generar arreglos ortogonales. Se examina su existencia en grupos cíclicos para ciertos parámetros, presentando un modelo de programación entera y un algoritmo de búsqueda local bimodal para encontrar estas cuasi-matrices de diferencias. Se formula una conjetura sobre la distribución de diferencias en matrices cuadradas con entradas en un grupo cíclico, demostrándola específicamente para cuasi matrices de diferencias, revelando una simetría intrigante en las filas y columnas fuera de la diagonal principal. También se propone una extensión de arreglos ortogonales para situaciones en los que no hay arreglos ortogonales específicos, abordando el "Problema del Mínimo Desequilibrio". Se emplean técnicas de programación entera, construcciones algebraicas y búsqueda metaheurística para ofrecer soluciones optimales y suboptimales, con experimentos computacionales revelando nuevas cotas en diversos contextos de optimización combinatoria.

Esta tesis investiga la aplicación de técnicas Deep Learning y Mecnánica Computacional en el ámbito de identificación de daños estructurales en puentes. En primer lugar, abordamos técnicas basadas puramente en datos, que emplean únicamente la respuesta estructural adquirida mediante un sistema de instrumentación (sensores). Estas técncias proporcionan un diagnóstico de alerta (daño- no daño). Empleamos un tipo de red neuronal conocido como Autoencoder, al que dotamos de una arquitectura particular que pretende replicar transformaciones afines (como el Análisis de Componenetes Principales) e incorporar transormaciones no lineales de forma interpretable y comprensible. Con el objetivo de alcanzar un nivel más elevado en el diagnóstico, estudiamos una metodología híbrida que incorpora la mecánica computacional como fuente adicional de datos. Mediante el uso de una parametrización de elementos finitos, obtenemos la respuesta estructural sintética ante diferentes escenarios de daño, clasificados por su localización y su grado de severidad. Esta metodología require una calibración previa de la parametrización de acuerdo a un estado de referencia, y los escenarios generados se emplean para entrenar una red neuronal profunda capaz de estimar la localización y severidad de un daño cuando se obtienen nuevas mediciones en el sistema de instrumentación.

This thesis is devoted to the spectral study of two types of perturbation of the Dirac operator, which are singular from the point of view of scaling. In the first part of this thesis, we consider the coupling of the Dirac operator with a combination of delta-shell interactions of electrostatic, Lorentz scalar, and magnetic type supported either on regular compact surfaces or locally deformed hyperplanes. We develop an approach based on regularization techniques that will allow us to describe the self-adjoint realization of the perturbed Dirac operator for any combination of the coupling constants. We then investigate the qualitative spectral properties of the various models using a Birman-Schwinger principle and a Krein-type formula relating the resolvent of the perturbed operator to that of the free Dirac operator, and we pay special attention to the case of critical combinations of coupling constants and those that give rise to the phenomenon of confinement. In the second part, we study the coupling of the Dirac operator with non-critical combinations of delta interactions supported on non-regular compact surfaces. We first generalize the results obtained in the context of regular surfaces to the case of surfaces locally coincident with the graph of a Lipschitz function whose gradient is bounded and has vanishing mean oscillations. For this we use some techniques from harmonic analysis, potential theory and Fredholm¿s theory. Moreover, in the case of Hölder surfaces, we show how the smoothness of the surface supporting the delta interactions affects the Sobolev regularity of the domain of the operator under consideration. In a second step, we investigate delta-interactions supported on surfaces satisfying certain weak topological conditions. We first study the Dirac operator coupled with the electrostatic and Lorentz scalar delta-shell interactions supported on uniformly rectifiable surfaces. Under certain conditions on the coupling constants, we prove the self-adjointness fo the perturbed operator and we establish several spectral properties in the Lipschitz case. In particular, we determine the essential spectrum of the perturbed operator and we show that at most a finite number of eigenvalues can appear in the gap. Moreover, we fit these results to other delta-shell interactions and derive several models of Dirac operators that give rise to the confinement phenomenon. In the third part of this thesis, we are concerned the study of the pseudodifferential properties of Poincaré-Steklov (PS) operators associated with the Dirac operator with the MIT bag boundary condition. First, we show that the PS operators fit well into the framework of classical pseudodifferential operators. Then, we study the PS operators from the point of view of semiclassical pseudodifferential operators, where the semiclassical parameter is given by the inverse of the mass. In particular, using some regularity properties of the MIT bag operator, we show that the PS operators are zero-order semiclassical pseudodifferential operators, and we determine their semiclassical principal symbols. In a second step, we study the Dirac operator coupled with a potential depending on an additional mass and supported outside a regular domain. When the additional mass is large enough, using the symbolic calculus and the properties of the PS operators, we establish a Krein-type formula relating the resolvent of the perturbed operator to that of the MIT bag operator. With its help, we show that the perturbed operator converges in the norm resolvent sense towards the MIT bag operator and give a sharp estimate of the convergence rate.

As in classical topology, in localic topology one often needs to restrict to locales satisfying a certain degree of separation. In fact, the study of separation in the category of locales constitutes a non-trivial and important piece of the theory. For instance, it is sometimes impossible to give an exact counterpart of a classical axiom, while other times a single property for spaces yields multiple non-equivalent localic versions. The main goal of this thesis is to investigate several classes of separated locales and their connections with different classes of sublocales, that is, the regular subobjects in the category of locales. In particular, we introduce a new diagonal separation and show that it is, in a certain sense, dual to Isbell¿s (strong) Hausdorff property. The duality between suplattices and preframes, and that between normality and extremal disconnectedness, turn out to be of special interest in this context. Regarding higher separation, we introduce cardinal generalizations of normality and their duals (e.g., properties concerning extensions of disjoint families of cozero elements), and give characterizations via suitable insertion or extension results. The lower separation property known as the TD-axiom, also plays an important role in the thesis. Namely, we investigate the TD-duality between the category of TD-spaces and a certain (non-full) subcategory of the category of locales, identifying the regular subobjects in the localic side, and provide several applications in point-free topology. Tal como na topologia clássica, também na topologia dos locales (reticulados locais) é frequente termos que nos restringir a locales que satisfaçam um certo grau de separação. De facto, o estudo de axiomas de separação na categoria dos locales constitui um aspecto não trivial e relevante da teoria. Por exemplo, em alguns casos é impossível termos a contrapartida exacta de um axioma clássico, enquanto noutros casos uma única propriedade para espaços topológicos produz, na categoria dos locales, diversas versões não equivalentes entre si. O objectivo principal desta tese é investigar várias classes de locales separados e suas conexões com diferentes classes de sublocales (os subobjetos regulares na categoria dos locales). Em particular, introduzimos uma nova propriedade de separação diagonal e mostramos que se trata, em certo sentido, de uma propriedade dual do axioma (forte) de Hausdorff introduzido por Isbell. As dualidades entre semi-reticulados e reticulados pré-locais, e entre normalidade e desconexão extrema, acabam por ter um papel relevante neste contexto. Relativamente a axiomas de separação fortes, introduzimos generalizações de normalidade, em função de um cardinal arbitrário, e suas duais (por exemplo, propriedades envolvendo extensões de famílias disjuntas de elementos co-zero), e apresentamos caracterizações em termos de propriedades de inserção ou extensão de funções. O axioma TD, uma propriedade de separação muito fraca, também desempenha um papel importante nesta tese. Especificamente, investigamos a dualidade TD entre a categoria dos espaços topológicos TD e uma determinada subcategoria (não plena) da categoria dos locales, identificando os subobjetos regulares na subcategoria de locales, e apresentamos várias aplicações à topologia sem pontos. Tal y como ocurre en topología clásica, en topología locálica frecuentemente uno tiene que restringir su atención a locales que cumplen cierto grado de separación. De hecho, el estudio de la separación en la categoría de locales es un aspecto no trivial y relevante de la teoría. En algunos casos, es imposible dar una contrapartida exacta a un axioma clásico, mientras que en otros casos, una sola propiedad produce multitud de versiones locálicas no equivalentes entre sí. El principal objetivo de esta tesis es investigar varias clases de locales separados y sus relaciones con diferentes clases de sublocales, esto es, los subobjetos regulares en la categoría de locales. En particular, introducimos una nueva separación diagonal, y probamos que es, en cierto sentido, dual al axioma Hausdorff (fuerte) de Isbell. En este contexto, la dualidad entre retículos completos y premarcos, y aquella entre la normalidad y la desconexión extrema resultan ser de especial interés. En cuanto a la separación más fuerte, introducimos generalizaciones cardinales de la normalidad y sus duales (por ejemplo, propiedades que consisten en la extensión de familias disjuntas de elementos cozero), y damos caracterizaciones de las mismas en términos de teoremas de extensión o inserción. Ciertas propiedades de separación más débiles, especialmente el axioma TD, también desempeñan un papel importante en esta tesis. Específicamente, investigamos la dualidad TD entre la categoría de espacios topológicos TD y cierta subcategoría (no plena) de la categoría de locales, identificando los subobjetos regulares en la categoría de locales, y proporcionamos algunas aplicaciones en la topología sin puntos.

En esta tesis doctoral estudiamos dos problemas diferentes en grupos abstractos y profinitos. Primero, desarrollamos las herramientas básicas de los problemas de concisión, luego obtenemos nuevas palabras concisas y demostramos que ciertos conmutadores coprimos son fuertemente concisos. Luego pasamos al estudio de los grupos profinitos de Artin de ángulo recto, probando unos resultados estructurales de sus subgrupos y caracterizando las escisiones abelianas.

This thesis focuses on the construnction of Varopoulos-type extensions of Lp and BMO boundary functions in rough domains. To be more specific, let ¿¿¿n+1 , n¿1, be an open set with s- Ahlfors regular boundary ¿¿ for some 0<s¿n, such that either s=n and ¿ is a corkscrew domain with the pointwise John condition, or s<n and ¿=¿n+1¿E for some s-Ahlfors regular set E ¿¿n+1 . In this thesis we provide a unifying method to construct Varopoulos type extensions of Lp and BMO boundary functions. In particular, we show that a) if f ¿ Lp (¿¿) with 1<p¿¿ then there exists F ¿C¿ (¿) such that the non-tangential maximal functions of F , dist (. ,¿c )¿ F , as well as the Carleson functional of dist (. ,¿c )s¿n¿ F are in Lp (¿¿) with norms controlled by the Lp -norm of f , and F¿f in some non-tangential sense H¿¿ s -almost everywhere; b) if ¯f ¿ BMO(¿¿) there exists ¯F ¿C¿ (¿) such that dist ( x,¿c )¿ ¯F ( x ) is uniformly bounded in ¿ and the Carleson functional of dist ( x,¿c )s¿n¿ ¯F ( x ) , as well the sharp non-tangential maximal function of ¯F are uniformly bounded on ¿¿ with norms controlled by the BMO-norm of ¯f , and ¯F¿¯f in a certain non-tangential sense H¿¿ s -almost everywhere. If in addition the boundary function is Lipschitz with compact support then both F and ¯F can be constructed so that they are also Lipschitz on ¿ and converge to the boundary data continuously. The latter results hold without the additional pointwise John condition assumption. Finally, for elliptic systems of equations in divergence form with merely bounded complex-valued coefficients, we show some connections between the solvability of Poisson problems with interior data in the appropriate Carleson or tent spaces and the solvability of Dirichlet problem with Lp and BMO boundary data.

Sports injuries stand as undesirable side effects of athletic participation, carrying serious consequences for athletes' health, their professional careers, and overall team performance. With the growing availability of data, there has been an increasing reliance on statistical models to monitor athletes' health and mitigate injury risks. In this dissertation, our focus is on the statistical analysis of sports injury data, with an emphasis on the time-varying and recurrent nature of injury occurrences. We develop and assess suitable statistical modelling approaches to address specific research questions that arise in sports injury prevention research. We pursue three primary objectives: (a) identifying biomechanical risk factors using variable selection methods and shared frailty Cox models, (b) developing a flexible recurrent time-to-event approach to model the effects of training load on subsequent injuries, and (c) creating dedicated statistical tools through the open-source R software. These objectives are driven by interdisciplinary research, conducted in close collaboration with the Medical Services of Athletic Club, and are motivated by real-world applications. Namely, the work is based on three distinct data sets: the functional screening tests data, the external training load data, and the web-scraped football injury data. The statistical advancements developed contribute to ongoing efforts in sports injury prevention, providing insights, methodologies, and accessible software implementations for sports medicine practitioners.

RESUMEN. Las ecuaciones en derivadas parciales poseen una amplia gama de aplicaciones en la modelización de múltiples fenómenos físicos, biológicos o sociales. Por ello, necesitamos aproximar las soluciones de estas ecuaciones en términos computacionalmente factibles. Hoy en día, entre los métodos numéricos más populares para resolver ecuaciones en derivadas parciales en ingeniería, encontramos el método de diferencias finitas y el método de elementos finitos. Un método numérico alternativo que ha ganado popularidad recientemente consiste en el uso de redes neuronales artificiales. Las redes neuronales artificiales, o redes neuronales para abreviar, son estructuras matemáticas con propiedades de aproximación universales. Además, gracias al extraordinario desarrollo computacional de la última década, las redes neuronales se han convertido en métodos numéricos accesibles y potentes para ingenieros e investigadores. Por ejemplo, el procesamiento de imágenes y del lenguaje son aplicaciones de las redes neuronales en la actualidad que muestran prestaciones sublimes inconcebibles hace años. Esta tesis contribuye a la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales mediante redes neuronales con el siguiente doble objetivo: investigar el comportamiento de las redes neuronales como aproximadores de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, y proponer métodos basados en redes neuronales para marcos de trabajo difícilmente abordables mediante métodos numéricos tradicionales. Como propuestas novedosas basadas en redes neuronales, presentamos en primer lugar un método inspirado en el método de los elementos finitos cuando se aplican refinamientos de malla para resolver problemas paramétricos. En segundo lugar, proponemos un esquema general de minimización de residuos basado en una versión generalizada del método de Ritz. Por último, desarrollamos una técnica basada en la memoria para superar una limitación habitual de la integración numérica cuando se utilizan redes neuronales para resolver ecuaciones diferenciales parciales. ABSTRACT. Partial differential equations have a wide range of applications in modeling multiple physical, biological, or social phenomena. Therefore, we need to approximate the solutions of these equations in computationally feasible terms. Nowadays, among the most popular numerical methods for solving partial differential equations in engineering, we encounter the finite difference and the finite element methods. An alternative numerical method that has recently gained popularity for numerically solving partial differential equations is the use of artificial neural networks. Artificial neural networks, or neural networks for short, are mathematical structures with universal approximation properties. In addition, thanks to the extraordinary computational development of the last decade, neural networks have become accessible and powerful numerical methods for engineers and researchers. For example, imaging and language processing are applications of neural networks today that show sublime performance inconceivable years ago. This dissertation contributes to the numerical solution of partial differential equations using neural networks with the following two-fold objective: investigate the behavior of neural networks as approximators of solutions of partial differential equations and propose neural-network-based methods for frameworks that are hardly addressable via traditional numerical methods. As novel neural-network-based proposals, we first present a method inspired by the finite element method when applying mesh refinements to solve parametric problems. Secondly, we propose a general residual minimization scheme based on a generalized version of the Ritz method. Finally, we develop a memory-based strategy to overcome a usual numerical integration limitation when using neural networks to solve partial differential equations. LABURPENA. Deribatu partzialetako ekuazioak aplikazio ugari dituzte fenomeno fisiko, biologiko edo sozial anitzen modelizazioan. Horregatik, funtsezkoa da ekuazio horien soluzioen hurbilpenak konputazionalki egingarriak diren terminoetan adieraztea. Gaur egun, ingeniaritzan, deribatu partzialetako ekuazioak ebazteko zenbakizko metodo ezagunenen artean daude diferentzia finituen eta elementu finituen metodoak. Duela gutxi, deribatu partzialetako ekuazioak ebazteko ospea hartu duen zenbakizko metodo bat neurona-sare artifizialen erabilpena da. Neurona-sare artifizialak edo, laburtzearren, neurona-sareak hurbilketa-propietate unibertsalak dituzten egitura matematikoak dira. Gainera, azken hamarkadako garapen konputazional apartari esker, ingeniarientzako eta ikertzaileentzako zenbakizko metodo eskuragarri eta indartsu bihurtu dira. Adibidez, irudien eta hizkuntzen prozesamendua neurona-sare artifizialen gaur egungo aplikazioak dira, eta duela urte batzuk pentsaezina zen errendimendu bikaina erakusten dute. Tesi honetan neurona-sare artifizialen bidezko deribatu partzialetako ekuazioen zenbakizko ebazpena aztertuko dugu, honako helburu bikoitzarekin: alde batetik, neurona-sareen portaera ikertzea deribatu partzialetako ekuazioen soluzioen hurbiltzaile gisa, eta bestetik, neurona-sareetan oinarritutako metodoak proposatzea, ohiko zenbakizko metodoen bidez nekez ekin dakiekeen lan-esparruetarako. Neurona-sareetan oinarritutako proposamen berritzaile gisa, lehenik eta behin, elementu finituen metodoaren funtzionamenduan oinarritutako metodo bat aurkeztuko dugu, problema parametrikoak ebazteko diskretizazioan fintzeak aplikatzen direnean. Bigarrenik, hondarren minimizazio eskema orokor bat proposatuko dugu, Ritz-en metodoaren bertsio hedatu batean oinarritua. Azkenik, memorian oinarritutako zenbakizko integrazio teknika bat erakutsiko dugu. Teknika horren helburua da deribatu partzialetako ekuazioak ebazteko neurona-sareak erabiltzen direnean agertzen den ohiko muga gainditzea.

Patients suffering from estrogen-driven breast cancer frequently develop hardly predictable resistance to hormone therapy, which creates a significant clinical challenge. Current approaches for tackling this problem include cell models and clinical studies, both supported by sequencing technologies like RNA-seq, and offering different strengths and limitations. This dissertation addresses the challenge of predicting resistance to hormone therapy in breast cancer by merging advances in bioinformatics and Bayesian statistics, and applying them to two types of data ¿ RNA-seq data and clinical data. First, we explore the statistical analysis of clinical data through Bayesian inference combined with enhanced Markov Chain Monte Carlo techniques, and introduce a novel algorithm for adaptive integration in prospective Modified Hamiltonian Monte Carlo (MHMC) methods. We demonstrate its positive effect on performance of MHMC in biomedical applications using clinical data of breast cancer patients. Next, we propose and implement an RNA-seq pipeline within our interactive web-app for the analysis of resistant breast cancer cell lines sequenced at CIC bioGUNE. Finally, we propose an original approach based on a Bayesian logistics regression model coupled with a simulated annealing-like algorithm for a combined analysis of RNA-seq and clinical data, and apply it to ad hoc data to obtain and validate in-silico and in-vitro a novel 6-gene signature for stratifying patient response to hormone therapy.

En esta tesis estudiamos los anillos de cohomología módulo p de p-grupos finitos, donde p es un número primo. En concreto, estudiamos la unicidad cohomológica de determinadas familias infinitas de p-grupos, es decir, estudiamos si los grupos de dichas familias pueden distinguirse mirando a sus anillos de cohomología módulo p. Por una parte, estudiamos la conjetura de profundidad de Carlson en la familia de cocientes finitos del grupo pro-p de clase maximal. Por otro lado, calculamos la sucesión espectral de Lyndon-Hochschild-Serre asociada a los grupos de Heisenberg módulo una potencia de p, y demostramos que para p mayor o igual que 5, entre los grupos de esta familia sólo hay un número finito de anillos de cohomología módulo p, salvo isomorfismo.

Con los avances en geofísica, existe un esfuerzo concertado para identificar las propiedades del subsuelo sin medidas invasivas. Los métodos actuales permiten estimar estas propiedades basándose en mediciones de superficie, y estimar estas propiedades se conoce como problema inverso. Sin embargo, resolver esto requiere conocimiento del problema directo asociado, que modela la generación de estas mediciones a partir de las propiedades del subsuelo. Actualmente se emplean diversas metodologías, entre ellas aquellas que aprovechan el aprendizaje profundo, para abordar problemas tanto inversos como directos. En esta tesis, proponemos tres metodologías de redes neuronales destinadas a reducir el tiempo de entrenamiento u obtener estimaciones más precisas: (a) dos técnicas de muestreo novedosas. Primero, un método de remuestreo basado en gradientes que genera submuestras acorde a una función de probabilidad acumulativa derivada de los gradientes de los datos, mejorando el descenso de gradiente estocástico en comparación con el submuestreo uniforme. En segundo lugar, un método de muestreo adaptativo que genera muestras en regiones donde el ajuste de la red neuronal excede un criterio de error máximo predefinido, facilitando el entrenamiento con una base de datos inicial más pequeña que se expande según sea necesario; (b) una regla de cuadratura de Monte Carlo basada en la memoria para el método Deep Ritz con el que se reduce la variación en la estimación de energía. Dado un parámetro de memoria, esta técnica reduce significativamente la varianza de la estimación de energía con un cálculo computacional comparable al método Deep Ritz; (c) un método para entrenar discretizaciones de Galerkin para aprender eficientemente cantidades de interés de soluciones a una ecuación diferencial parcial paramétrica. El componente central de nuestro enfoque es una formulación eficiente mínima residual ponderada por una red neuronal que, después del entrenamiento, proporciona aproximaciones basadas en Galerkin en espacios discretos estándar que estiman con precisión cantidades de interés, independientemente de la tosquedad del espacio discreto. Si bien estos métodos mejoran los resultados en comparación con los enfoques clásicos, esta tesis se centra en cuantificar la incertidumbre en problemas inversos. Dado que los métodos basados en redes neuronales para problemas inversos son computacionalmente eficientes, proponemos combinar redes neuronales con estadística bayesianas para cuantificar la incertidumbre de estas soluciones y obtener más de una solución a problemas inversos con múltiples soluciones. Usamos una función de pérdida que fusiona redes neuronales con la formulación bayesiana, conocida como divergencia de Kullback-Leibler o función de pérdida de límite inferior de evidencia. Esta combinación se utiliza en un autocodificador donde el codificador se aproxima al operador inverso con la cuantificación de la incertidumbre asociada y el decodificador proporciona la solución numérica del problema directo. Dada esta perspectiva, generamos: (1) un modelo de autocodificador variacional que ofrece una aproximación de distribución Gaussiana de la distribución posterior asociada con el problema inverso, donde la media representa la estimación puntual y la varianza indica la cuantificación de la incertidumbre; y (2) un autocodificador variacional multimodal que ofrece una mezcla de distribuciones Gaussianas que se aproximan a la distribución posterior. Este modelo proporciona probabilidades de ocurrencia de múltiples soluciones con su respectiva cuantificación de incertidumbre, ayudando a identificar la configuración más probable. Los métodos desarrollados en esta tesis, anteriormente mencionados, son implementados para resolver dos problemas inversos: tomografía de impedancia eléctrica en dos dimensiones y magnetotelúrico en una dimensión.

En este trabajo, desarrollamos algoritmos automáticos orientados a un objetivo hp diseñados para problemas no elípticos. Estos algoritmos se destacan en términos de robustez y simplicidad en su implementación, atributos que los hacen especialmente adecuados para aplicaciones industriales. Una ventaja clave de nuestras metodologías es que no requieren calcular soluciones de referencia en mallas globalmente refinadas. Sin embargo, nuestro enfoque se limita a refinamientos anisotrópicos p e isotrópicos h. Los resultados numéricos 1D muestran la convergencia de nuestros algoritmos orientados a un objetivo, tanto h como p, usando las ecuaciones de Helmholtz y convección-difusión. Además, los resultados numéricos en 2D muestran la convergencia de los algoritmos hp usando las ecuaciones de Poisson, Helmholtz y convección-difusión. También, probamos estos algoritmos hp en casos 3D con la ecuación de Helmholtz para demostrar la versatilidad de nuestros algoritmos. Finalmente, extendemos nuestros algoritmos orientados a un objetivo hp para generar grandes bases de datos confiables e ideales para entrenar redes neuronales. Como resultado, mostramos la generación eficiente de grandes bases de datos potencialmente con cientos de miles de datos sintéticos.

During the last 40 years, a large body of work has been directed to study the connection between finiteness properties of groups and their algebraic and algorithmic properties. One of the early results is due to Baumslag and Roseblade, who showed that while finitely generated subgroups of the direct product of two free groups are wild and untractable, the finitely presented ones have nice algebraic and algorithmic properties. This work was widely extended during the years to the class of finitely presented residually free groups viewed as subgroups of direct products of limit groups. In this thesis we continue this study and show that the good behaviour of finitely presented subgroups extends to the class of finitely presented residually Droms RAAGs. More precisely, we give a complete characterisation of finitely presented residually Droms RAAGs and we obtain a number of consequences related to decision problems, growth of homology and the Bieri-Neumann-Strebel-Renz invariants. We also study the subgroup structure of direct products of limit groups over Droms RAAGs depending on their finiteness properties. Finally, we initiate the study of finitely presented subgroups of direct products of $2$-dimensional coherent RAAGs.

En esta tesis, consideramos dos problemas inversos que están motivados por modelos físicos relacionados con la mecánica cuántica, en particular con la ecuación de Schrödinger. Estos son el problema de scattering con datos locales de campo próximo y el problema de datos iniciales a datos finales en mecánica cuántica. En ambos, obtenemos de manera analítica un resultado de unicidad inversa, relacionado con la posibilidad de identificar potenciales eléctricos independientes del tiempo. En el primero, demostramos que potenciales que viven en espacios funcionales de baja regularidad, pueden ser identificados colocando fuentes puntuales y midiendo la onda dispersada a energía constante en pequeños trozos de hipersuperficie cerca del soporte del potencial, en dimensiones n¿3. Para ello, usamos métodos de análisis armónico, técnicas de perturbación de dominios, y probamos una aproximación de Runge. En el segundo, obtenemos un resultado de unicidad para potenciales acotados con decaimiento polinomial en dimensiones n¿2. Sin embargo, en este caso lo hacemos midiendo el estado final de un sistema cuántico que interacciona con el potencial, para todo posible estado inicial.

En esta tesis nos centraremos en la aproximación numérica del Laplaciano fraccionario y del operador de Riesz-Feller. En la primera parte de este trabajo, nos ocupamos principalmente del desarrollo de un método pseudo-espectral rápido y espectralmente preciso para aproximar numéricamente el Laplaciano fraccionario en una dimensión para $\alpha=1$, también conocido como el medio fraccionario Laplaciano o el medio Laplaciano. Por otro lado, en la segunda parte de la tesis, trabajamos con el operador de Riesz-Feller, con el fin de obtener una aproximación numérica precisa utilizando estrategias pseudo-espectrales. Este operador especial no local puede verse como una generalización del Laplaciano fraccionario, ya que para el caso particular de $\gamma=0$, obtenemos menos el Laplaciano fraccionario. Además, se puede expresar en términos de derivadas de las funciones de Weyl-Marchaud, y sus derivadas.

We are interested in spectral study of perturbations of Dirac operators on certain domains. The majority of the studies carried out in this thesis are established through the study of the resolvents of these operators. On one hand, we introduce Poincaré-Steklov (PS) operators, which appear naturally in the study of Dirac operators with MIT bag boundary conditions, and analyze them from a microlocal point of view (Chapter 2). On the other hand, our study focuses on the three-dimensional Dirac operator coupled with a singular delta interactions: Chapter 3 is devoted to an approximation of the confining version of Dirac operator coupled with purely Lorentz scalar delta shell interactions. Chapters 2 and 3 deal with the large mass limit (supported on a fixed domain and a domain whose thickness tends to zero). Chapter 4 also generalizes an approximation of the nonconfining version of Dirac operator coupled with a singular combination of electrostatic and Lorentz scalar delta interactions by a Dirac operator with regular local interaction. Finally, in two-dimension, we develop a new technique that allows us to prove, for combinations of delta interactions supported on non-smooth curves, the self-adjointness of the realization of the Dirac operator under consideration, in Sobolev space of order one-half.