GAITASUN ESPEZIFIKOAK:



M15CM18: Aldagai konplexuko funtzioen propietate nagusiak ezagutu. Funtzio analitikoak, funtzio harmonikoak eta oinarrizko funtzioak ezagutu.

M15CM19: Cauchyren teorema integral ezberdinen enuntziatuak eta aplikazioak bereganatu.

M15CM20: Funtzioak Taylor eta Laurenten serieetan garatu.

M15CM21: Hondarren teoremaren aplikazio eta ondorio nagusiak ezagutu.

M15CM22: Hondarren metodoaren bidez integralak kalkulatu. Integral inpropioen kalkulurako erabili.

M15CM23: Transformazio konformeen oinarrizko propietateak eta ezaugarri geometrikoak ezagutu.



IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK:



Aldagai konplexuko oinarrizko funtzioak ezagutu, hondarrak eta plano konplexuko eremuen gaineko integralak kalkulatu.

1. ZENBAKI KONPLEXUAK ETA PLANO KONPLEXUA: Eragiketak zenbaki konplexuekin, modulua eta argumentua, adierazpen polarra eta forma esponentziala, erroak, proiekzio estereografikoa. Zenbaki konplexuen segidak eta serieak.

2. FUNTZIO DERIBAGARRIAK: Limiteak eta jarraitutasuna. Deribatu konplexua. Cauchy-Riemannen ekuazioak. Funtzio holomorfoak eta haien propietateak. Funtzio harmonikoak eta harmoniko konjugatuak.

3. OINARRIZKO FUNTZIOAK: Funtzio esponentziala, logaritmoak eta logaritmo funtzioaren adarrak, berretura konplexuak, funtzio trigonometrikoak, hiperbolikoak eta haien alderantzizkoak.

4. INTEGRAZIO KONPLEXUA ETA CAUCHYREN TEOREMAK: Kurben gaineko integralak, jatorrizko funtzioak, Cauchyren teorema integrala, Cauchyren formula integrala funtzioetarako eta deribatuetarako, ondorioak (Moreraren teorema, Liouvilleren teorema, modulu maximoaren printzipioa).

5. TAYLORREN ETA LAURENTEN SERIEAK. PUNTU SINGULARRAK: Funtzio-segidak eta funtzio-serieak, berretura serieak, Taylorren serieak, Laurenten serieak, puntu singular isolatuen sailkapena eta karakterizazioa.

6. HONDARRAK ETA HAIEN APLIKAZIOAK: Hondarrak. Cauchyren hondarren teorema. Funtzio trigonometrikoen integral errealen kalkulua hondarren bidez. Zuzen errealaren gaineko integral inpropioen kalkulua, argumentuaren printzipioa, Rouchéren teorema.

7. TRANSFORMAZIO KONFORMEAK: Deribatuaren modulu eta argumentuaren esanahi geometrikoa, transformazio konformeak, zenbait transformazioren analisi geometrikoa.

Klase magistralak: teoriako gaiak azalduko dira, bibliografia gomendatuan oinarrituta.



Gelako praktikak: ikasleei proposaturiko ariketa eta galderak gelan ebatziko dira, klase magistraletan ikusitako gaiak ulertzeko eta lantzeko.



Mintegiak: irakasleak, irakasgaiaren edukiekin erlazionatutako lanak proposatuko dizkie ikasleei. Ikasleek, egindako lana erakutsiko dute mintegietan, haien lana aurkeztuz eta egindakoa argudiatuz.

1.- Teoria eta problemez osatutako azterketa idatziak: nota finalaren %80, gehienez.



Ebaluazio-irizpideak:



-Arrazonamenduetan eta definizioetan zehaztasuna.

-Lengoai matematikoaren doitasuna.

-Argudio-metodoak argiak eta ordenatuak pausuak azalduz.

-Ariketen emaitzak zuzenak.



2.- Mintegietan parte-hartzea, banakako edo taldekako lanak, aurkezpenak (ez aukera guztiak derrigorrean): nota finalaren %50, gehienez.



Ebaluazio-irizpideak:



-Erantzun zuzenak eta lengoai matematikoaren erabilpen ona.

-Argitasuna argudioetan.

-Ahozko eta idatzizko azalpenetan, ordena eta zehaztasuna.

-Asistentzia.



Ebaluazio jarraituaren errenuntzia kurtsoko 9garren astera arte egin daiteke, irakasgaiaren arduradunari idazki bat bidaliz.



Ebaluazio finala irakasgai osoaren azterketaren bidez egingo da. Pisua % 100.

eGela plataformaren bidez eskainitako materiala:

* Ariketak
* Mintegiak
* Apunteak

Oinarrizko bibliografia

AGARWAL R. P., PERERA K., PINELAS S. An Introduction to Complex Analysis. Springer, 2011.

APARICIO E. Teoría de funciones de variable compleja. UPV-EHU, 1998.

BROWN J.W., CHURCHILL R.V. Variable compleja y aplicaciones, 7a ed. McGraw-Hill, 2007.

CONWAY J. B., Functions of One Complex Variable. Springer-Verlag, 1986.

DUOANDIKOETXEA, J., RIVAS, J. Analisi Konplexua, EHUko Argitalpen Zerbitzua, 2017.

PALKA, B.P. An introduction to Complex Function Theory. Springer-Verlag ,1991.

STEIN, E.M., SHAKARCHI, R. Complex Analysis, Princeton University Press, 2003.

VOLKOVYSKI I, LUNTS G, ARAMANOVICH I. Problemas de la teoría de funciones de Variable Compleja. MIR, 1972.

Gehiago sakontzeko bibliografia

AHLFORS L. V., Complex Variables. McGraw-Hill, 1978.
LANG S. Complex Analysis. Springer, 1999.
LEVINSON N., REDHEFFER R. M., Curso de variable compleja. Reverté, 1990.
MARSDEN J. E., HOFFMANN M. J., Basic Complex Analysis. W.H. Freeman and Co. USA, 1987.
RUDIN W., Análisis real y complejo. McGraw-Hill / Interamericana de España, 1987.
SHAKARCHI R. Problems and Solutions for Complex Analysis. Springer, 1999.