GAITASUNAK

Zenbaki errealen eraikibide axiomatikoa ezagutzea eta zenbaki erreal eta konplexuen oinarrizko nozioak ikastea.

Zenbaki-segida eta zenbaki-serie kontzeptuak ulertzea, eta konbergentzia nozioa erabiltzea, hura erabakitzeko zenbait irizpidez baliatuz.

Funtzio errealen segida eta serieen konbergentzia erabakitzeko teknikak ezagutzea, eta konbergentzia-motak desberdintzea.

Serieen baturak kalkulatzea oinarrizko kasuetan.

Trebetasunez erabiltzea aldagai erreal bateko funtzioei loturiko hainbat nozio: limitea, jarraitutasuna, deribagarritasuna, integragarritasuna. Hainbat problema eta aplikazio (muturren kalkulua, azalerak eta bolumenak) ebazteko teknika egokiak garatzea.

Funtzioak aztertu eta adieraztea, eta grafikoetatik funtzioen propietateak ondorioztatzea.

Kalkulu diferentzialaren eta integralaren teorema nagusiak ulertzea eta erabiltzen jakitea.

Aldagai bateko integral inpropioak kalkulatzea eta haien konbergentzia erabakitzen jakitea.

Oinarrizko funtzioak zehazki ezagutzea.

Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak, norabide batekiko deribatuak eta gradienteak kalkulatzeko teknikak ezagutzea.



IKASTEAREN EMAITZAK

Segida eta serieen propietateak erabiltzea, konbergentzia eta bornapenaren kontzeptuak erlazionatzea.

Funtzioei buruzko oinarrizko kontzeptuak eta funtzioen propietateak ezagutzea. Limite, jarraitutasuna, deribatua eta integralaren nozioak ulertzea.

Oinarrizko teknikak erabiliz funtzioen deribatuak kalkulatzea.

Kalkulu diferentzialaren eta integralaren tresnak erabiliz aztertu eta ebatzi hainbat problema geometriko : funtzioen grafikoak, luzerak, azalerak, bolumenak.

1. ZENBAKI ERREALAK ETA KONPLEXUAK: Zenbaki arrazionalen adierazpen hamartarra. Zenbaki errealak. Supremoaren axioma. Zenbaki konplexuak.

2. ZENBAKI-SEGIDAK: Segida baten limitea. Segida monotonoak, bornatuak eta konbergenteak. Cauchyren baldintza. Azpisegidak. Limiteen kalkulua.

3. ZENBAKI-SERIEAK: Cauchyren baldintza. Konbergentzia absolutua eta baldintzatua. Gai ez-negatibotako serieak. Konbergentzia irizpideak. Serie alternatuak.

4. FUNTZIOAK ETA JARRAITUTASUNA: Limiteak eta jarraitutasuna. Oinarrizko teoremak. Jarraitutasun uniformea.

5. DERIBATUAK: Adierazpen geometrikoa. Eragiketak eta katearen erregela. Erroen kalkulu hurbildua. Batezbesteko balioaren teoremak. L'Hôpitalen erregela. Taylorren teorema. Adierazpen grafikoak. Alderantzizko funtzioak.

6. RIEMANNEN INTEGRALA: Funtzio integragarriak. Integralaren propietateak. Kalkuluaren oinarrizko teorema. Jatorrizkoen kalkulua. Integralaren aplikazioak. Integral inpropioak.

7. FUNTZIO-SEGIDAK ETA SERIEAK: Konbergentzia eta konbergentzia uniformea. Funtzio-segidaren limitearen jarraitutasuna, deribagarritasuna eta integragarritasuna. Funtzio-serieak. Weierstrassen irizpidea. Berretura-serieak. Konbergentzia erradioa. Berretura-serieen bidezko garapenak.

8. OINARRIZKO FUNTZIOAK: Funtzio esponentziala. Funtzio logaritmikoa. Funtzio trigonometrikoak. Funtsezko propietateak.

9. ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK: Bi aldagaiko funtzioen grafikoak. Maila-kurbak. Limiteak. Deribatu partzialak. Norabide batekiko deribatuak. Gradientea. Plano ukitzailea.

METODOLOGIA

Eduki teorikoa klase magistraletan azalduko da Bibliografian agertzen diren oinarrizko erreferentziak eta nahitaezko materialak jarraituz. Klase magistralak ariketa-klaseekin (gela-praktikekin) osatuko dira; klase horietan ikasleei proposatuko zaie teoriako klaseetan ikasitakoa problemak ebazteko erabiltzea.

Mintegietan ikasleek aurkeztu eta azalduko dituzte, idatziz edo ahoz, irakasgaiaren galdera edo adibide adierazgarriak irakasleak mintegia baino lehen, oro har, ikasleei proposatutakoak; horrela, ikasleek mintegi egunerako pentsatuta izanez gero, galderak hobeto eztabaidatuko dituzte eta ondorio egokiak aterako dituzte. Ikasleei banakako edo taldeko lanak teoriari buruz edo problemei buruz proposatuko zaizkie. Ikaslearen lanen zati nagusia lan pertsonala izango da. Irakasleak ikasleak orientatuko ditu bidalitako lanetan. Ikasleek irakasgaian aurkitzen dituzten zailtasunak edo zalantzak irakaslearen tutorietan argitu ahal izango dituzte.

Azterketa idatziak: froga objetiboak bai teoriaz bai ariketetaz.

Pisua: %80-%100. Nota minimoa mintegietako notarekin batezbestekoa egin ahal izateko:4 (10 gaineko)

Irizpideak:

-Arrazonamenduetan eta definizioetan zehaztasuna.

-Lengoai matematikoaren doitasuna.

-Argudio-metodoak argiak eta ordenatuak pausuak azalduz.

-Ariketen emaitzak zuzenak.



Mintegietako lanak: idatzizkoak edo ahozkoak, edo azterketa partziala.

Pisua: %0-%20.

Irizpideak:

-Erantzun zuzenak eta lengoai matematikoaren erabilpen ona

-Argitasuna argudioetan

-Ahozko azalpenetan, ordena eta zehaztasuna

-Problemen ebazpenetan ordena eta zehaztasuna

-Asistentzia



Ebaluazio partzialetarako eta ohiko ebaluaziorako azterketa idatzia eta mintegietako lanen arteko batazbestekoa egingo da, azterketa idatzian 4 bat edo gehiago lortuz gero. Irakasgaia gainditzeko bi lauhilabeteak gainditu beharko dira.

Egela plataforma

Oinarrizko bibliografia

- J. de BURGOS, Cálculo infinitesimal de una variable, editorial McGraw Hill, 1994.

- J. RIVAS, Kalkulu diferentziala eta integrala I, Servicio Editorial UPV/EHU, 2021,

eISBN: 978-84-9860-525-9

- N.PISKUNOV, Kalkulu diferentziala eta integrala, U.E.U., 2.argitalpena, 2009.

- SALAS, S.L. y HILLE, E. ‘Cálculo de una y varias variables’ (4ªed). Volumen 1 y 2. Ed. Reverté. Barcelona, 2002.

- M.SPIVAK, Calculus, Editorial Reverté 2ªedición, 1996.



Ariketak

- M. DE GUZMAN Y B. RUBIO, Problemas, conceptos y métodos del Análisis Matemático, tres tomos, Editorial Pirámide, 1993.

- M. BILBAO, F. CASTAÑEDA Y J.C. PERAL: Problemas de cálculo. Ediciones Pirámide, 1998.

- B.P. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Análisis Matemático, Editorial Paraninfo.

- A. VERA y P. ALEGRIA, Problemas y ejercicios de Análisis Matemático, Editorial AVL, 2000.

Gehiago sakontzeko bibliografia

- S. ABBOTT, Understanding Analysis (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2016
- B. RUBIO, Números y convergencia. Madrid, 2006.
- B. RUBIO, Funciones de variable real. Madrid, 2006.
- R. LARSON Y B.H. EDWARDS, Cálculo, editorial McGraw Hill, novena edición, 2011.
- J.E. MARSDEN Y A. J. TROMBA, Cálculo vectorial. Pearson Education, S.A. (5ªedición). 2004.
- J. M. ORTEGA, Introducción al Análisis Matemático, Labor, 1993.
- W. RUDIN, Principios del Análisis Matemático, Editorial McGraw Hill, 1987.