Teoremas sobre compacidad en el espacio proyectivo

 

Revista del Centro de Estudios Científicos de San Sebastián, 1935

 

      1. Sea P2 un triángulo proyectivo y e una recta de exclusión del mismo. Determinemos el polo A de e respecto de P2. Las rectas determinadas por A con cada uno de los vértices de P2 dividen a éste en seis triángulos: P1; P2; P3; P4; P5; P6, a cuyo conjunto designaremos por p(I). Respecto de cada uno de estos triángulos, hallemos el polo de e y obtendremos, seis puntos A1; A2; A3; A4; A5; A6, cuyo conjunto llamaremos _I. Repitiendo la operación respecto de cada uno de los triángulos formados se obtiene un nuevo conjunto de triángulos p(2), constituído por treinta y seis triángulos P11 P12 P13.... P66, y otro _2 de puntos, formado asimismo por 36 puntos A11 A12 A13 .... A61 A62 A63 A64 A65 A66.

      2. Este procedimiento se extiende sin dificultad a los poliedros elementales de cualquier número de dimensiones, previa generalización del concepto de polo respecto de un poliedro. A este efecto:

      Sea Pn un poliedro elemental de n dimensiones y En-1 un hiperplano cualquiera. Este corta a las n+1 caras de P en otros tantos En-2. Si se determina el polo de cada uno de éstos, respecto de la correspondiente cara de P y se une cada polo con el vértice opuesto a la cara a que pertenece, las rectas obtenidas concurren en un punto llamado polo de En-1 respecto de Pn. Bastará probar, en efecto, que dos cualesquiera de estas rectas son coplanarias. Sean A y B dos vértices de Pn y A9 y B9 los polos contenidos en sus caras opuestas an-1 y bn-1. La recta AB determina con el punto A9 un En que corta al En-2, determinado por los restantes vértices de Pa (distinto del A y del B), precisamente en el mismo punto en que corta a dicho En-2, el plano ABB9. Las rectas BB9 y AA9 concurren pues, y esto basta para afirmar la concurrencia de todas las demás.

      3. Sea Pn un poliedro elemental de n dimensiones y En-1 un hiperplano de exclusión del mismo. Determinemos el polo A de En-1 respecto de P. Los hiperplanos definidos por A, con cada una de las aristas de P, dividen a P en n+1! poliedros elementales, P1; P2; .... Pn+1!, cuyo conjunto designaremos por p(I). Respecto de cada uno de éstos, hallemos el polo de En-1: obtendremos n+1! puntos A1 A2 .... An+1!, conjunto que designaremos por _(I). si repetimos estas mismas operaciones, se obtiene un nuevo conjunto p(2) constituído por (n+1!)2 poliedros P11 P12 P13 ... Pn+1!n+1!, y otro _(2), formado por (n+1!)2 puntos A11 A12 A13 .... An+1!n+1!, etc., etc.

      La sucesión _ ; _(1); _(2); _(3)... la llamaremos «red de poliedros elementales en P»; cada uno de los conjuntos de poliedros _(1), _(2), _(3)... etcétera, «mosaico elemental en P»; la sucesión d ; _(1), _(2), _(3) .... «red elemental de puntos en P» y, en fin, cada uno de los conjuntos _(1), _(2), _(3) que la forman, «red parcial de puntos d».

      4. Si determinamos los diversos En-2 de intersección de En-1 considerado al comienzo, con cada uno de los hiperplanos en que se hallan contenidas las caras de Pn, los polos de los tales En-2 respecto de cada una de estas caras, son n+1 puntos, los cuales a su vez, unidos de n en n, definen otros tantos E9n-1. Cada cara C(h) de Pn, es cortada por todos los E9n-1, excepto uno, al que llamaremos hiperplano de exclusión de Ch, y lo designaremos por E9(h)n-1. Los hiperplanos continentes de las caras de Pn determinan n+1 poliedros elementales, cada uno de los cuales P(h)n, tiene una cara C(h) común con el P. En resumen, disponemos de un conjunto de h+1 poliedros elementales, que «llenan» el espacio proyectivo, y un sistema de h+1 planos de exclusión, respectivamente relacionado con cada uno de aquellos poliedros.

      Pueden, pues, determinarse n+2 redes de poliedros elementales y otras tantas redes elementales de puntos con sus correspondientes mosaicos y redes parciales. Designaremos por _(K) el conjunto de los n+2 mosaicos p(K), conjunto que se hallará constituído, naturalmente, por (n+2) (n+1!)K poliedros elementales. Asimismo designaremos por (K) al conjunto de los puntos pertenecientes a las h+1 redes parciales, constituídas por (n+2) (n+1)K puntos.

      La sucesión

      w ; _(1); _(2); _(3)...

      será una «red de poliedros elementales en el espacio En».

      Y la

      c ; 1; 2; 3...

      una «red elemental de puntos en el espacio En».

      5. El teorema de la continuidad en el espacio proyectivo Bn puede enunciarse diciendo que cualquier sucesión Pi Pij Pijh etc.

      de poliedros elementales de una red, tiene un punto y sólo uno de intersección (Durchsnitt).

      Dados dos puntos M y N pertenecientes a un poliedro elemental w, puede determinarse un valor n tal, que para n>n, los puntos M y N pertenecen a distintos poliedros elementales de los mosaicos p(n) de una red definida en P.

      Supuesto un poliedro elemental P, y un punto del mismo M, si se define en P una red de poliedros, a las fronteras de los cuales no pertenezca M, existe una sucesión y sólo una de números

      i j h k l r ....

      tal, que M esté en todos los poliedros

      Ai Aij Aijh Aijhk etc.

      de la expresa red.

      Dado un poliedro elemental P, en el que se halla definida una red, y otro poliedro elemental P contenido en P, existe en la citada red un poliedro Aijhkl... contenido en P.

      6. Todo conjunto de infinitos puntos de un espacio proyectivo Bn tiene al menos un punto de acumulación (Teorema de Bolzano generalizado).

      Consideremos una red de poliedros elementales en En, p(1) p(2) p(3)... p(m)... En algunos de los poliedros que forman p(1) habrá infinitos puntos del conjunto considerado; por ejemplo en el Pi. En algunos de los Pix (x = 1, 2, 3... n!) que forman parte de p(2) habrá uno, al menos, Pij que contenga infinitos puntos de conjunto, etc. Queda así definida una sucesión Pi Pij etc., ... cuyo punto común es de acumulación del conjunto.

      7. Una sucesión infinita a1 a2 a3.... de conjuntos completos no vacíos y tales, que ai+1<ai tiene al menos, un punto de intersección. (Teorema de Cantor generalizado).

      En efecto, elijamos un punto B1 en a1; otro B2 en a2; y en general, un Bm en am... Queda así definida una sucesión, que tendrá un punto de acumulación. Dicha sucesión está contenida en cualquier ai a partir de uno de sus elementos n (función de i). Luego su punto de acumulación es común a todos los am.

      8. Sea M un conjunto completo de En, a cada uno de cuyos puntos le hacemos corresponder un poliedro elemental incompleto que lo contenga. El conjunto M está siempre contenido en un número finito de tales poliedros correspondientes. (Teorema de Heine-Borel-Lebesgue, generalizado).

      Supongamos falso el teorema y definamos una red de poliedros elementales y completos en el espacio En. E(1) habrá, al menos un poliedro Pij, que satisfaga a la misma condición. Así sucesivamente queda definido un punto A común a la sucesión Pi Pij Pijk etc... Dicho punto A pertenece a M y se comprende, por tanto, un poliedro elemental incompleto P que lo contiene. Pero en la expresada sucesión hay un Pijk ...e a partir del cual todos los restantes poliedros están contenidos en P, y por tanto, en el interior de los mismos se cumple el enunciado contra lo supuesto.