Poliedros proyectivos elementales

 

Revista del Centro de Estudios Científicos de San Sebastián, 1934

 

      Para establecer la definición de polígono proyectivo, y también, claro está, la del polígono ordinario o métrico, puede seguirse el camino indicado por el Sr. Rey Pastor en sus «Fundamentos de la Geometría proyectiva superior» que consiste en la consideración de las quebradas simples (que no se cortan a sí mismas) cerradas y de especie par (es decir que son cortadas por cualquier recta que no pasa por ninguno de sus vértices en un número par de puntos). Estas quebradas (entre las que se incluyen las quebradas métricas u ordinarias cerradas, pues a éstas no las corta la recta impropia) tienen la propiedad de dividir al plano en dos regiones: a cualquiera de ellas denomina el citado Profesor polígono proyectivo. Esta idéntica denominación para las dos regiones no está justificada, pues cabe diferenciarlas proyectivamente: una de ellas, la que calificaríamos de interior, no puede contener quebrada alguna de especie impar; la otra exterior, sí. Pero, prescindiendo de esta observación, notaremos que la definición de polígono proyectivo exige la demostración de difíciles proposiciones, entre ellas la misma división del plano que requiere razonamientos profusos. Por otra parte, la generalización del concepto de polígono a espacios superiores necesita por esta vía, la definición previa de la superficie poliédrica cerrada de especie par, que ofrece aún mayores dificultades. Para evitar estos inconvenientes, sería propio utilizar el concepto más restringido de poliedro elemental, que vamos a establecer y el cual sustituye fácilmente al general en algunas de las cuestiones de aplicación de éste, como la teoría de los conjuntos proyectivos que el mismo Rey Pastor en la citada obra deja iniciada.

      1. Dos puntos A y B dividen a la recta por ellos determinada en dos segmentos proyectivos bAbB y bAbB. si E es un punto de bAbB, designaremos el segmento bAbB por la notación bAbB(E) en la que E figura como punto de exclusión, es decir, no contenido en el segmento. Los segmentos proyectivos pueden ser incompletos o completos según que de ellos se excluyan o no los extremos A y B. Salvo cuando explícitamente se haga constar la condición de incompletos, se supondrá que nos referimos a segmentos completos. La notación anterior puede fácilmente generalizarse, pues en el caso de que e fuera una recta, plano o espacio lineal sin punto alguno del segmento, designaríamos también a éste con la notación bAbB(e) siendo e, recta, plano o espacio de exclusión.

      2. Sea en un plano una recta e y un segmento a;bCbB(e).

      Designemos por A un punto no contenido en bBbC (e) ni en e. Llamaremos triángulo proyectivo A a (e) al conjunto de los puntos pertenecientes a los infinitos segmentos proyectivos bAbP (e) estando P en a. La recta e se denomina recta de exclusión del triángulo, los puntos A, B y C se llaman vértices del mismo, y los segmentos bAbB (e) bBbC (e) y bAbC (e) lados. Para justificar estas definiciones demostraremos algunas propiedades inmediatas.

      a) El triángulo está unívocamente definido por los datos A, a y e. Puesto que a cualquier punto P de a le corresponde un segmento y sólo uno bAbP (e).

      b) Los triángulos A a (e) y B b (e) —donde b representa el lado bAbC (e)— son idénticos.

      En efecto; sean a0 b0 c0 los puntos en que las rectas BC, AC y AB cortan la recta e. Sea P un punto de triángulo ABC (e) y a9, b9 y g9 los puntos en que la recta e corta a las PA, PB, PC. Sean asimismo a, b, g los puntos de intersección de estas rectas con las BC, CA y BA respectivamente.

      Sabemos, por hipótesis, que P y a9 separan a A y a, lo que proyectado desde C sobre e, equivale a decir que g9 y a9 separan a b0 y a0. Además, puesto que a0 y a separan a B y C por hipótesis, proyectando desde A la cuaterna a0 a BC, resulta que a0 y a deben separar a b0 y c0, y por tanto que b0 y a0 no separan a c0 y a9.

      Resumiendo las líneas anteriores, se sabe pues, que

      a0 y b0 separan a a9 y g9

      a0 y b0 no separan a a9 y c0

      Luego

      a0 y b0 deben separar a c0 y g9 (I)

      En segundo lugar, de la afirmación (I), y puesto que a0 y a9 separan a g9 y b9 (proyectando a0 a9 BC desde P), se deduce la

      b9 y g9 separan a a0 y c0 (II)

      Las condiciones (I) y (II) proyectadas a su vez desde C y A respectivamente, sobre AB y CP prueban finalmente que

      A y B separan a g y c0

      P y g9 separan a C y g

      condiciones ambas que permiten afirmar la pertenencia de P al triángulo c, C, (e). Análogamente respecto de b, B, (e).

      c) La recta que une un vértice con un punto interior del triángulo corta al lado opuesto, lo cual se desprende inmediatamente de la misma demostración de b).

      d) Un triángulo queda definido por sus vértices y la recta de exclusión, puesto que se conocen los lados del mismo y puede aplicarse la definición establecida.

      3. a) Una recta que corta a dos lados de un triángulo proyectivo sin pasar por el vértice común a ambos, no tiene punto alguno común con el tercer lado.

      Sea ABC (e) el poliedro considerado y p la recta que corta en los puntos 19 y 29 a los lados bBbC y bAbC y en el punto 39 a la recta AB. Sean 1, 2 y 3 los puntos de intersección de BC, AC y AB con e. Proyectando sobre AB y desde el punto H, común a p y e las cuaternas (119BC) (229AC) resulta que el par 339 separa la BC9 y también al AC9. Luego, según propiedades conocidas de la serie rectilínea, A y B no separarán a 3 y 39 c.q.d.

      Del mismo modo se prueba que

      b) Una recta que no corta a dos lados de un triángulo proyectivo tampoco corta el tercero.

      c) Una recta que corta a un lado de un triángulo proyectivo sin pasar por sus vértices extremos, corta necesariamente a otro lado.

      d) Si una recta contiene un punto del contorno o interior de un triángulo proyectivo P2, dicha recta corta por lo menos a dos lados del triángulo.

      En el primer caso la propiedad está ya demostrada. Para probarla en el segundo designemos por P al punto interior de ABC (e) y sea M el punto de intersección de AP con bBbC. La recta considerada corta a un lado del triángulo AMC (e) luego deberá cortar por lo menos a otro; sea al bMbC o al bAbC. De esta proposición se concluye fácilmente la

      e) Tres puntos A, B, C, no alienados, son vértices de cuatro triángulos proyectivos diferentes.

      En efecto la recta de exclusión puede ocupar cuatro posiciones diferentes respecto de dichos puntos.

      4. El concepto de triángulo proyectivo puede generalizarse a espacios de más de dos dimensiones con la denominación de poliedro elemental. Para ello puede seguirse un proceso idéntico al que nos ha servido para pasar del segmento al triángulo proyectivo. A este lo denominaremos poliedro elemental de dos dimensiones y abreviadamente por P2. Para generalizar por inducción, supondremos establecido ya el concepto de poliedro en el espacio de u dimensiones.

      Sea

      Pn = [A1, A2, A3, A4 .... An+1]

      un poliedro elemental de n dimensiones; An+2 un punto arbitrario, exterior al hiperplano (A1, A2, A3.... An+1), y e un hiperplano que no contenga ningún punto de Pn. Llamaremos poliedro elemental de n+1 dimensiones al conjunto de los puntos pertenecientes a los infinitos segmentos proyectivos que se pueden definir con las condiciones de no cortar a e y tener un extremo en An+2 y el otro en Pn.

      Los puntos A1, A2, A3, A4 .... An+2 se denominan vértices del poliedro Pn+1.

      En particular los poliedros definidos por An+2 con las caras (o lados si n = 2) de Pn, se llaman caras de Pn+1, así como también el mismo poliedro Pn. Cualquier cara contiene a todos los vértices menos uno. En consecuencia, las caras se designan por a1, a2, a3, .... an+2 (a1 no contiene a A1; a2 no contiene a A2; .... an+2 Pn no contiene a An+2).

      Frecuentemente se dice que la cara ah se opone al vértice Ah y viceversa.

      Para designar las caras de las caras o caras secundarias del poliedro, emplearemos la notación ahk; el primer subíndice señala que ahk está en ah, y el segundo que no contiene a Ak. De otro modo podrá, pues, definirse a ahk diciendo que es un poliedro que tiene por vértices los mismos de Pn+2, excepto Ah y Ak, y por hiperplano de exclusión el mismo e (o mejor dicho, la intersección de su espacio con e). De esta suerte, es inmediato que ahk ; akh.

      En general, llamaremos caras p-arias a los poliedros definidos por n - p vértices del Pn+2 y que no cortan a e. Si designamos por una notación análoga aijhfg...m es evidente la propiedad conmutativa.

      Los puntos pertenecientes a las caras de un poliedro elemental constituyen lo que se llama el contorno del poliedro. Un poliedro privado de su contorno se denomina incompleto; con su contorno, completo.

      Propiedades de los poliedros elementales

      Nos referimos a un Pn+1, determinado de la misma manera que en el párrafo anterior, y también de n+1 dimensiones.

      a) Los elementos Ah, ah, e, definen un poliedro y sólo uno; pues a cada punto M de ah, le corresponde un segmento, y sólo uno, que cumpla la condición de no cortar a e.

      b) Los poliedros elementales definidos por

      (An+2 an+2 e) y (Ai ai e)

      son idénticos, es decir, se hallan formados por unos mismos puntos.

      En efecto, si M pertenece al poliedro (An+2 an+2 e), el plano An+z Ai M corta necesariamente a la cara secundaria an+2, i en un punto H (ya que An+2 M corta a an+2 en un punto J y, en el poliedro an+2, AiJ debe cortar a la cara opuesta, que es precisamente an+2,i en otro punto H). El punto M pertenece, pues, a un poliedro elemental de dos dimensiones An+2 Ai H. Según las propiedades demostradas en los P2, Ai M cortará a An+2 H y el punto de intersección V y el Ai estarán separados por M y e, con lo cual M pertenece al poliedro (Ai ai e). Análogamente podría probarse el recíproco, es decir que todo punto de (Ai ai e) pertenece a (An+z an+z e).

      Con esto queda probado al mismo tiempo que

      c) un poliedro queda definido por cualquier vértice y la cara opuesta y el hiperplano de exclusión. O también por sus vértices y el hiperplano de exclusión.

      d) La recta que une un vértice de un poliedro con un punto del mismo corta necesariamente la cara opuesta.

      Posiciones de una recta con respecto a un poliedro

      e) Una recta que corte a dos caras de un poliedro elemental no corta a ninguna de las restantes caras.

      Esta propiedad es una generalización de la correspondiente de los poliedros elementales planos. Vamos a demostrarla por inducción suponiéndola cierta hasta n. Admitamos que la recta p corta a las caras ah y as Sea Am un vértice cualquiera contenido en la cara secundaria ahs. Proyectando desde Am la recta p sobre el hiperplano a que pertenece am obtendremos una recta: en particular los puntos H y S se proyectarán respectivamente sobre puntos de las caras secundarias ams y amh. Y dicha proyección no podrá cortar a ninguna otra cara de am, lo que equivale a decir que la recta p no cortará a ninguna de las caras que pasa por Am. Queda aún la duda de si cortará a am pero esta duda se desvanece eligiendo otro vértice de la cara secundaria ahs.

      Análogamente se generalizan las propiedades:

      f) Si una recta no corta n caras de un poliedro de n dimensiones tampoco corta a la otra cara del mismo poliedro.

      g) Si una recta corta a una cara de un poliedro elemental sin cortar a ninguna cara secundaria, corta necesariamente a otra cara y sólo otra del poliedro.

      h) Si una recta contiene un punto interior de un poliedro elemental proyectivo corta necesariamente al contorno del poliedro en dos puntos.