División del plano por quebradas proyectivas

 

Revista del Centro de Estudios Científicos de San Sebastián, 1934

 

      1. En una quebrada proyectiva simple y abierta1 bAb.b...bB, un punto cualquiera P1 perteneciente a la misma, da origen a dos quebradas parciales, también simples y abiertas y que designaremos por bPb...bA (B) y bPb...bB (A).

      Si en dicha quebrada hay varios puntos P1 Q1 R1 S...U1 diremos que uno de ellos, por ejemplo el S1 es el primero respecto de A1 cuando no haya en la quebrada bAb...b..bS (B) ningún otro de los tales puntos. Análogamente puede decirse respecto de B. La anterior definición puede también referirse a un segmento bAb bbB.

      2. Si una quebrada simple y abierta bbbAbb..b.Lbbb bbSb..b.bB no tiene ningún vértice en un poliedro elemental2 y corta a una cara del mismo, corta necesariamente a otra cara. En efecto, si el punto común pertenece, p.ej., al lado baibLbS de bAb...b.bLbb bSb...b.B la recta LS cortará a otra del poliedro elemental en otro punto T3. Este punto se halla también sobre ba, pues de lo contrario L o S pertenecerían al poliedro, puesto que uno de los dos segmentos determinados por un par de puntos pertenecientes a dististas caras de un mismo poliedro elemental pertenece totalmente a éste. Análoga propiedad puede establecerse respecto de un ángulo.

      3. Si se considera en un plano una quebrada abierta y dos puntos S y P, puede determinarse otra quebrada bbSbb..b.b.P que no corta a .

      Supongamos el teorema demostrado para quebradas de n lados o menos de n. (Para n=1 es inmediato). Sea bAbBbCbb.b.b.b.bZi una quebrada de n+1 lados y S y P dos puntos de su plano. Existe una quebrada simple abierta 1ibSb..b.b.bHbbJb.b..b.P que no corta a la 9ibBbCb.b.b.b.bZ (de n lados, obtenida de la por supresión de bAbB). Esta 9 podrá cortar al segmento bAbB en uno o varios puntos; sea, entre éstos, T el primero respecto de S. Admitamos, para fijar las ideas, que T se halle, p.ej., en el lado bHbJ de 9, si no es vértice de esta quebrada, o se confunda con J si lo es. Escojamos sobre la recta AB un punto R no contenido en bAbB, tal que en el segmento RA (B) no haya ningún punto . Si desde R proyectamos sobre bHbT, contenido en bHbJ o confundido con él, todos los vértices de 9 que sean suceptibles de ello y designamos por V un punto talque no se halle en bVbT (H) ninguna de las proyecciones obtenidas —excepción hecha de la B, que se realiza sobre T— ocurrirá que en el triángulo bRbVbT (HB) no habrán ningún vértice de 9 y como esta quebrada no corta a los lados bRbT ni bVbT del triángulo, tampoco cortará al bRbV[2]. Queda así unido R con S y análogamente se une R con P. Existe, pues, una quebrada bSb.b.b.b.bP que no corta a y si esta quebrada no fuera simple, fácilmente daría lugar a otra simple mediante la supresión de sus partes cerradas.

      4. En el enunciado anterior se puede introducir otra condición: si además de , S y P se suponen en el plano varias rectas v, z, ....r, existe una 2ibSb.b..b.bP que además de no cortar a no tiene ningún vértice sobre las rectas v,z, ....r. La demostración es inmediata.

      5. La división del plano por una línea poligonal cerrada4 se extiende, mediante ciertas restricciones, al plano proyectivo elemental. Nos limitaremos por de pronto a generalizarla para las quebradas proyectivas con recta de exclusión5, de acuerdo con el siguiente enunciado:

      Sea r una quebrada proyectiva simple, cerrada, de m lados, no cortada por una recta e. a) Dicha quebrada divide al conjunto de los puntos del plano, exceptuados los de r, en dos subconjuntos o regiones, y cualquier punto del plano que no pertenezca a r, pertenece a una u otra, pero no a las dos. Además, dos puntos de una misma región, o un punto de una de las regiones y otra de r, son en todo caso, extremos de una quebrada proyectiva simple que no tiene ningún punto común con la r. Y recíprocamente, si un par de puntos que no pertenecen a r son extremos de una quebrada simple que no tiene ningún punto común con la r, los tales puntos pertenecen a una misma de las dos regiones. b) Si una quebrada abierta tiene sus extremos en una misma región, y ningún vértice de la misma se halla en r, ni ninguno de r en , ambas quebradas tienen un número par de puntos comunes. c) Sobre cualquier recta que corte a r en un punto S, no vértice, hay un segmento bRbL, que contiene a S, y en el cual, los puntos de bbbRbS (L) pertenecen a una misma región, y los de bbRbL (S) a la otra. d) Los puntos de e pertenecen a una misma región.

      Todas estas propiedades son exactas para m=3, como se desprende del estudio de los poliedros elementales. Supongámoslas probadas para quebradas de menos de m lados, y vamos a generalizarlas para cualquier quebrada l, de m lados. Tomemos un punto E en e, no alineado con dos vértices de r y proyectemos desde E todos los vértices de r: sean a y z dos de las rectas proyectantes tales, que, todas las restantes se hallen en az(e)6. Sea A el vértice contenido en a y B y C los vértices inmediatos, anterior y posterior, al A sobre r. No habrá, pues, sobre la recta AE ningún punto de r, ya que r no corta a e.7 Si por el punto E trazamos otra recta b que corte a bBbA (e) en el punto B1 y tal que en el ángulo ba (e) no haya ningún vértice de r, dicha recta cortará también a bAbC (e) en su punto C1, y los segmentos bEbB1 (e1) bEbC1 (B1) no contendrán ningún punto de la quebrada abierta bBb.b.b.b.bC (A)8 y por tanto no cortarán a r. Si en el triángulo bAbBbC (e) no hay vértice de r, ni siquiera en su contorno (1ª hipótesis), designaremos por s al segmento bBbC (e). Si en el triángulo bAbBbC o en su lado bBbC (e) existen uno o más vértices de r (2ª hipótesis) escogeremos uno de ellos P, de tal posición que el segmento bAbP (e) no corte a r9 y reservaremos la citada letra s para representar el segmento bAbP (e). En uno u otro caso los extremos de s dividen a r en dos quebradas abiertas 1 y 2 (p.ej. en la primera hipótesis 1ibBbAbC; 2ibBb.b.b.bC (A) y en la segunda hipótesis 1ibAbBb..b..bP; 2ibAbCb..b..bP), las cuales reunidas respectivamente a s dan lugar a quebradas cerradas r1 y r2. Estas quebradas que constan de menos de m lados y tienen rectas de exclusión e, dividen al plano en regiones _ y _ y p y p respectivamente (representando las letras con comilla, regiones que contienen a e). La quebrada 2 contiene al menos un punto de _ (cualquier vértice no extremo en la hipótesis primera, y en la segunda, el punto C, que pertenece a _ ya que puede unirse con E por los segmentos CC1 (A) y C1E (B1)).

      No hay, pues, en _ ningún punto de 2, pues si así fuera, esta quebrada debería cortar a 1 o a bAbP (e), lo cual no sucede. Análogamente se prueba que no hay en p ningún punto de 1. Teniendo presentes estas observaciones se concluye que cualquier punto de _ puede ser unido con E sin cortar a 2, o lo que es lo mismo, que _p y análogamente que p_. Vamos a probar ya, que las regiones que satisfacen al enunciado son las p1_ y p_. En efecto, los puntos _ pueden unirse con los de s sin cortar a r, y otro tanto ocurre con estos y los de p. Así pueden ser unidos un par de puntos de _1p.

      Sean, por otra parte, L y M dos puntos de p-_; si en r se suprimer el lado bAbB se obtiene una quebrada abierta b; existiría, por tanto, [4] otra, también abierta, bibLb.b.b.bM sin punto común con la b y sin ningún vértice sobre AB ni sobre s. En estas condiciones b y bAbB han de tener un número par de puntos comunes (si es que tienen alguno), pues de lo contrario b y r2 tendrían un número impar de puntos comunes, contra la proposición c) del enunciado, que hemos supuesto demostrada para quebradas de menos de m lados, como la propia r2. Entre esos puntos comunes sea 1 el primero respecto de L, y 2 el primero respecto de M. En el lado HI de b que contenga a a habrá un punto T (cualquiera de H1(I)) tal que todos los del segmento bTb1 (M) pertenecerán p-_ (incluso el T); proyectando desde 2 los vértices de r, que sean susceptibles de ello, sobre bTba (H), sea R una de las proyecciones tal que bRb1 (H) no haya ninguna otra (si no hubiere ninguna proyección en bTb1 (H) supondríamos RiT). El segmento bRb2, que juntamente con los bRb1 (H) y b1bb b2 (e) forma un triángulo proyectivo, no podrá ser cortado por b. Análogamente se halla en el lado UV de b que pasa por 2 un punto Z, tal que todos los de Z2 (U) pertenezcan a p-_, incluso el Z; el segmento bZbT, que forma triángulo proyectivo con b1b b2 (e) y RB (U), no contiene ningún punto de 1, y por tanto tampoco de b1b b2 (e). Si suprimimos de b la quebrada abierta R....Z (L), el resto no contiene ningún punto de r, y como otro tanto ocurre con el citado segmento bTbZ, los puntos p-_ quedan unidos sin cortar a l. C q d.

      Lo que resta de la proposición a) así como las proposiciones b), c) y d) se generalizan inmediatamente, haciendo convenientes aplicaciones a r1 y r2.

      6. Fundándonos en la proposición (5) podemos ya probar la más general que se anuncia así:

      Si una quebrada proyectiva simple, cerrada zes cortada por una recta e en 2m puntos, ninguno de los cuales sea vértice de z, hay entre los citados puntos de intersección, un par al menos que son consecutivos simultáneamente en e y en z10. Dicha quebrada divide al plano en dos regiones, de tal suerte que:

      a) Un punto cualquiera no contenido en z debe pertenecer a una o a otra, pero no a las dos. Los puntos de una misma región, o uno de una región y otro de z, son extremos de una quebrada abierta que no corta a z; b) toda quebrada abierta cuyos extremos pertenezcan a una misma región, si no tiene ningún vértice en z, ni z ningún vértice en ella, corta a z en un número par de puntos y recíprocamente; c) sobre cualquier recta que contenga un punto P de z, no vértice, hay un segmento bMbN, que contiene a P y cuyos puntos bPbM (N) pertenecen a una misma región y los de bPbN (M) a la otra.

      Todas estas propiedades, con excepción naturalmente de la primera, la hemos probado ya para quebradas con recta de exclusión [5]. Vamos ahora a generalizarlas por inducción, suponiendo que son ciertas cuando el número de puntos de intersección es 2 (m-1).

      Sean 1 y 2, dos puntos pertenecientes a z ibAbBb.b.bMbbNbbbbb.bb.bA y a e consecutivos sobre z (figura). Si en cualquiera de los segmentos b1b b2, existe al menos un punto de z, los puntos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      1 y 2 no son consecutivos sobre e, pero vamos a probar que en uno de los segmentos b1b b2, hay un par de consecutivos sobre z e. Supongamos, por ejemplo, que 1 se halle en bAbB y 2 en bMbN y que no haya en b1b..b.b.b2 (A) ningún punto común a z y a e. Proyectamos desde 1 sobre b2bN (M) todos los vértices de z, que sean susceptibles de ello y sea N' un punto de b2bN (M), tal que en el segmento b2bN (N) no figure ninguna de las proyecciones obtenidas. Análogamente proyectemos desde N sobre b1bA (B) los vértices de z que sean susceptibles de ello y designemos por A un punto de b1bA (B) tal que no haya en b1bA (B) ninguna proyección. El segmento bAbbNb (e) determina con el bAbb1 (A) un triángulo proyectivo cuyo lado b1bNb designaremos por s; y este segmento con el b2bN (N) determina a su vez otro triángulo proyectivo en el que designaremos por t al lado b1b b2. Si por el punto O, común a e y a AN, se traza una recta que corte a b2bNb (N) en un punto N, cortará a b1bN en otro punto P y por tanto b1bA (A) en un tercer punto A. Evidentemente que la quebrada cerrada zibAbbbBb.b..b.b.bbMbNbbbAb constituida por la porción de z, aibBb.b.b.b.b.b.b.b.bb.bb.bM (A) y los segmentos bAbbbB (A), bMbNb (N) y bAbbbNbb (O) no es cortada por AN y por tanto divide al plano en dos regiones, a una de las cuales pertenecen A y N.

      En consecuencia, la quebrada bAbbAb.b.b..b.b.b.b.b.b.b.bNbN (B) corta a bAbbbNb (O) en un número par de puntos. Sean entre éstos Y y X dos consecutivos sobre la quebrada. Los lados que los contienen, cortarán también a s, y por lo tanto a t, en otros dos puntos, 3 y 4, que serán igualmente consecutivos en z, entre los varios comunes a z y e. Si en el segmento b3b b4 (O) no hay puntos de z, son consecutivos sobre z y sobre e simultáneamente c. q. d. En caso contrario se aplica al segmento b3b b4 (O) el razonamiento anterior hasta llegar a demostrar la existencia de dos puntos doblemente consecutivos. Queda demostrada la primera afirmación del enunciado.

      Sean a y b un par de puntos comunes a r y a e y consecutivos sobre ambas líneas, contenidos respectivamente, p.ej., en los lados bAbB y bMbN de ribAbBb.b..b.b.b.bMbNb.b..b.b.b.bA de tal suerte que no haya en bab.b.b.b.bb (A) ningún punto de e, ni en un segmento babb ningún punto de r, como hemos visto en los razonamientos anteriores, puede determinarse un punto O no contenido en babb y de tal modo, que una recta que pase por O corte a los lados bAbB y bMbN en puntos A y N originándose una quebrada cerrada ribAbbbBb.b.b.b.b.bMbNbbbAb integrada por la porción de r, A.....N (A) y por el segmento AN (o) quebrada que es cortada por e en dos puntos, y que divide al plano en dos regiones _ y _ según se ha señalado ya anteriormente. A una de estas regiones _ pertenece íntegramente, como también se ha indicado, la quebrada abierta A........N (B).

      Por otra parte, la quebrada cerrada ribAbbbAb.b..b.b.bNbNbbbAb constituída por la porción de r, bAbbbAb-bNbNb (B) y el segmento AN (o) determina también, a su vez, dos regiones p y p, pues es cortada por e en 2m - 2 puntos; a más de éstas, la p p.ej., pertenece íntegramente AB.....MN (A). En consecuencia, p y _ no tienen punto alguno común, pues todos los de p están en _ y todos los de _ en p. Las regiones que satisfacen al enunciado son _+p y p-_ ( o lo que es igual, _-p). La demostración se realiza por el mismo método seguido en [5].