3. Santamariaren ekarpen matematikoak

 

    Matematika-ikertzaile legez burututako bere lanaldi laburrean oso trebakuntza geometriko sakona erakutsi zuen Santamariak. Bere ekarpenik garrantzitsuenak, Madrilen 1941ean aurkeztu baina aurreko hamarkadan burututako doktore-tesiaren inguruan batik bat, geometriaren gaiei buruzkoak izan ziren. Bere lanetatik gehienek ere, irakaskuntzaren maila ezberdinentzako idazkiak ahantzi gabe, geometriaren hainbat alderdirekin zerikusia zuten: ez euklidestarra, proiektiboa, axiomatikoa, aljebraikoa, eta baita Erlangengo Programaren ikusmolde sistematizatzailea ere.

 

3.1. Plano proiektiboen propietate topologikoak

 

    Santamariak argitaratutako ekarpenik garrantzitsuenak Revista del CEC-eko honako artikuluetan daude: «Poliedros proyectivos elementales» (12. zkia., 1934, 2-4), «División del plano por quebradas proyectivas» (17. zkia., 1934, 1-3), «Teoremas sobre compacidad en el espacio proyectivo» (IV. urtea, 9. zkia., 1935, 205-207) eta «Quebradas proyectivas impares» (IV. urtea, 2. zkia., 1935, 25-28). Artikulu horiek bere doktore-tesiaren (Introducción al estudio elemental de las propiedades topológicas del plano proyectivo) beste hainbat kapitulu osatzen dituzte. Tesia beste bi kapitulu laburrekin osatzen da: «Entornos en un E_n» eta «Puntos comunes a dos quebradas simples».

    Topologia Geometrikoaren teknikek intuiziotik oso gertu egotearen eragozpena dute. Horregatik, oso zaindua izan ez den frogapen batek, arrazoiketa ez frogatu bat egiazkotzat jotzeko intuizioan gehiegi oinarritzearen akatsa izan dezake. Arrazoiketa horietatik batzuk hain nabarmenak izan daitezke (adibidez, zuzen batek planoa bi eskualdetan zatitzen duela baieztatzen duena) ezen praktikan ez baitute frogapenik behar. Baina horien erabilera jarraituak, haren frogapena nabarmena ez izateaz gainera, batzuetan faltsua izan daitekeen baieztapen batera eraman gaitzake. Aurrekoa frogatzen duten hainbat adibide topa genitzake Topologian; agian argienetakoa Jordan-en kurbaren teoremarena da. Bere frogapen geometrikoaren historia luzea eta nekeza izan da, haren edukiaren zorroztasun matematikoa agertu nahi zuten froga ugari bata bestearen ondoren etorriz. Teorema horren frogapen geometrikorik gehienen beste eragozpena, goragoko dimentsioetara orokortzeko haren berezko zailtasuna izan da. Rey Pastor bera saiatu zen, 1943an argitaratutako artikulu batean, aipatu akatsik gabeko frogapena eskaintzen («Teorema de Jordan para las variedades poliédricas regulares», Revista de la Unión Matemática IX, 89-95).

    Argi dago zirkunferentzia metriko batek planoa bi eskualdetan zatitzen duela (zentrorako distantzia erradioa baino hertsiki txikiagoa eta handiagoa den bi puntu-multzoena), non eskualde bateko edozein bi puntu kurba (hots, tarte baten irudi jarraitua) baten bidez batu daitezkeen, eskualde ezberdinetako edozein bi puntu batzen dituen kurba guztiek emandako zirkunferentzia beti mozten duten bitartean. Zirkunferentzia batekiko edozein azpiespazio homeomorfok planoa aurreko propietateak betetzen dituen bi eskualdetan zatitzen duela frogatzen saiatzen da Jordanen kurbaren teorema.

    Aipatu teoremaren baliozkotasun intuitiboa eta Topologiaren oinarriekin duen harreman estua dela eta, normaltzat jo genezake matematikariek propietate hori frogapenik gabe onartu izana, 1865ean C. Neumann-ek arazo hori Vorlesungen über die Riemannschen Theorie der Abelschen Integrale (Leipzig, Teubner) liburuan esplizituki planteatu zuen arte. Hala ere, 1887-1893 urteetara arte itxaron behar izan zen, C. Jordanek, bere Cours d'Analyse (III. liburukia, Paris, Gauthier-Villars, 587-594; I. liburukia, 1893, 90-100) liburuan, frogapen luze eta nekeza aurkeztu zuen arte, alegia, non frogarik gabeko hainbat suposizio biltzen ziren, horien artean larriena kasu poligonalerako teorema izanik. Dirudienez, lehenengo frogapen osoa O. Veblen-ek aurkeztu zuen 1905ean («Analytic Topology», Amer. Math. Soc. Collq. Publ. 28, 83-98). Saiakera horren ondoren, beraren garapen konplexua zela eta, zenbait saio sinplifikatzaile agertu ziren.

    Santamariaren tesian garatutako ikerlanaren helburua planoaren eta, oro har, espazio lineal proiektiboen propietate topologikoak aztertzea da. Santamariak onartzen duenez, helburu hori, printzipioz, zuzenean burutu daiteke,

 

... utilizando solamente recursos elementales a partir del concepto de triángulo proyectivo y, en los espacios, de lo que aquí llamamos 'poliedro elemental', es decir del simple proyectivo, hasta llegar, por ejemplo, al análisis de las curvas de Jordan, como imagen topológica de la recta (Introducción al estudio elemental de las propiedades topológicas del plano proyectivo, 1; aurrerantzean, Propiedades topológicas).

 

    Baina Topologia proiektiboaren aipatu arazoek zuhur bihurtzen dute Santamaria, bere eraikuntza osoa formalizazio zehatzaren menpe jarriz. Horregatik, «la necesidad de afinar previamente los instrumentos de investigación, y la observación de que en esta labor fundamental había ya amplia materia de estudio, no han invitado a detenernos en el pórtico», era horretan hasieran proposatutako xedearen irismena murriztuz.

    Santamariak erabiltzen dituen egileak eta ekarpen matematikoak honako hauek dira: Fréchet-en Les espaces abstraits, Appert-en Propriétés des espaces abstraits les plus généraux, Kuratowski-ren Topologie I, Urysohn-en Sur les multiplicités cantoriennes, Kerékjártó-ren Vorlesungen über Topologie, Wilkosz-en Les propriétés topologiques du plan euclidien, eta Seifert eta Threlfall-en Lehrbuch der Topologie. Baina, haatik, plano proiektiboaren propietate topologikoak aztertzeko oinarrizko lana Rey Pastorren Fundamentos de la geometría proyectiva superior (1916) liburua da. Izan ere, Santamariak berak, lehen aipatutako 1935eko «Evolución de la Geometría Proyectiva» idazki laburrean, Rey Pastor geometria horren —hots, ikergaitzat propietate proiektiboak, hau da, proiekzioetan eta sekzioetan gordetzen direnak, dituena— garapenari gehien lagundu dioten matematikari handien maila berean kokatzen du, Poncelet, Chasles, Cayley, Staudt eta Kleinekin batera. Staudtek lortzen du 1847an Geometria proiektiboa metrikotik aske eraikitzea, Poncelet, Chasles eta Cayleyk lortu ez zutena. Geometria proiektiboaren oinarrizko teoremak edo Staudten teoremak^[28], baliabide grafikoekin eta elementu irudikarien bere teoria geometrikoarekin soilik, Geometria analitiko cartesiarraren adinako orokortasun maila erdiesten du^[29]. Baina Klein arte Geometria proiektiboak ez du Analisiari ohikoa zaion zorroztasun maila lortuko. Dagoeneko ikusi dugunez, Geometria bat ez du bere baitako elementuen izaerak ezaugarritzen, ezta ikerkuntza-metodoak ere, oinarri gisa duen eragiketa klaseak baizik. Eta Santamariak, Rey Pastorren goi-mailako Geometria proiektibotik, Kleinen ekarpenaren honako balantze hau hartzen du:

 

... inicia en la Geometría obra análoga a la de los analistas de la segunda mitad del siglo pasado; así como éstos emprenden la revisión de los fundamentos del Análisis, y consiguen darle el rigor de que antes carecía, así Klein descubre el error de los que consideraban terminada la revisión de Euclides, cuando no habían hecho sino fijarse en una sola de sus proposiciones fundamentales: el famoso postulado de las paralelas (Propiedades topológicas, 3).

 

    Kleinen lanetik abiatuz, oinarrizko teoremaren frogapen geometrikoa Darboux-en leman oinarritzen du Rey Pastorrek, hari bere ustez ez zeukan zorroztasuna eransteko asmoz. Rey Pastorren ustez, bere frogapenak zorrotzak eta hertsiki proiektiboak dira, gainera jarraitutako prozeduraren soiltasuna adieraziz. Haatik, gorago baieztatutakoagatik, Rey Pastorren Geometria proiektiboaren trataera beti zorrotza izatetik urrun dago oraindik. Santamariaren tesiaren xedea, zorroztasun gabezia hauek plano proiektiboaren propietate topologikoen azterketaren bidez betetzea da.

    Nolabait ere, Rey Pastorrek 1916ko idazkian sakon landutako gaiak bazterrean geratzen dira, eta etorkizunik handiena zutenak —esate baterako, Erlangengo Programa, espazio abstraktuaren axiomatika edo espazio proiektiboaren topologia—, aldiz, osagarri funtzioa betetzen dute. Azken bi gaiak Santamariak prestatutako bi doktore-tesienak dira; espazio proiektiboaren topologia, bereziki, aztertzen ari garen tesiarena.

    Santamariaren ikerketaren abiapuntua poliedro elementalaren definizioa da, gehienetan erabili ohi den poligono proiektiboaren kontzeptuak dakartzan zailtasunetatik aske baitago. Abiapuntu hori eta ikerlanaren orientabidea Rey Pastorren lehen aipatutako lanean daude. Santamariak onartzen duenez, poligono proiektiboaren kontzeptuaren definizioan Rey Pastorren estrategiari jarrai dakioke, zatiki sinple itxiak (bere burua mozten ez dutenak, alegia) eta espezie bikoitikoak (hau da, puntu kopuru bikoiti batean bere ezein erpinetatik igarotzen ez den edozein zuzenek mozten dituenak) aintzat hartuz. Zatiki horiek planoa bi eskualdetan banatzeko propietatea dute, eta horietako edozeini poligono proiektiboa deitzen zaio. Santamaria bi eskualdeon izendatze-identitate honen justifikazio ezaz ohartzen den arren —proiektiboki ezberdindu baitaitezke—, prozedura horren zailtasunik handienak jite formala du:

 

... notaremos que la definición de polígono proyectivo exige la demostración de difíciles proposiciones, entre ellas la misma división del plano que requiere razonamientos profusos. Por otra parte, la generalización del concepto de polígono a espacios superiores necesita por esta vía, la definición previa de la superficie poliédrica cerrada de especie par, que ofrece aún mayores dificultades («Poliedros proyectivos elementales», Revista del CEC 12, 1934, 2).

 

    Horregatik guztiagatik, poligono proiektiboa baino murriztuagoa den poliedro elementalean oinarritutako beste estrategia bat proposatzen du Santamariak.

    Horretarako, segmentutik bi dimentsioko poliedro elemental gisa hartutako triangelu proiektibora igarotzeko prozedura ezartzen du. Triangelu proiektiboaren kontzeptu hori bi baino dimentsio gehiagoko espazioetara orokor daiteke, horrela poliedro elementalaren definizioa erdietsiz.

    Ondoren ingurunearen nozio topologikoa definitzen du: «Llamaremos entorno de un punto p en un E_n (espacio proyectivo de n dimensiones) a un P_n (poliedro elemental de n dimensiones) incompleto que contenga a p». Kontzeptu horrek, jarraian, metatze puntu eta kondentsazio puntu, multzo deribatu, dentso, itxi, perfektu, barne-puntu, multzo ireki, konexio eta abarreko kontzeptuak erabiltzea ahalbidetzen dio, aurretiko definiziorik gabe. Kontzeptu horiei ezagunak diren propietate orokorrak esleitzen zaizkiela suposatzen da.

    Ingurunearen kontzeptu horrek Hausdorff-en espazioaren bost axiomak asetzen ditu. Bosgarren axiomaren frogapena (p puntu bakoitzari inguruneen segida zenbagarri bat dagokio, non p-ren edozein ingurune segida horretako terminoren baten azpimultzo den) sare poliedrikoak barneratuz burutzen da, triangelu sarea triangelu proiektibo batean definituz eta hori orokortuz, poliedro elementalen sarea P_n-n definituz. Eta prozedura berberaz p-ko puntuen sare elementala eta puntuen sare partziala. Barneratutako kontzeptuetan oinarrituz, espazio proiektiboko trinkotasunari buruzko hainbat teorema frogatzen dira (Revista del CEC-en 9. zenbakian argitaratuta), bereziki jarraitutasunaren teorema^[30] (sare bateko poliedro elementalen edozein segidak, ebakidura puntu bat eta bakarra dauka); Bolzano-ren teorema orokortua (espazio proiektibo baten infinitu puntuen multzoek oro gutxienez metatze puntu bat daukate); Cantor-en teorema orokortua (multzo oso eta ez hutsen a₁, a₂, a₃ segida infinitu batek, non a_i+1>a_i, gutxienez ebakidura puntu bat dauka); eta Heine-Borel-Lebesgue-ren teorema orokortua (bedi M E_n-ren multzo oso bat, non puntu bakoitzari berau barne hartzen duen poliedro elemental ez oso bat egokitzen diogun. M multzoa egokitutako poliedro horien kopuru finitu baten barnean dago).

    Hurrengo bi kapituluetan (Revista del CEC-en argitaratuak, 17. zkia., 1934, eta IV. urtea, 2. zkia., 1935), Santamariak lehenik ordena bikoitiko zatiki proiektiboen bidezko planoaren zatiketa aztertzen du, eta, bigarrenik, ordena bakoitikoen bidezkoa. Zehazki, lehenengo kasuan, ordena bikoitiko zatiki proiektibo, itxi sinpleek (hots, puntuen kopuru bikoitian edozein zuzenek mozten dituenak, ezein ebakidura-puntu erpin ez denean) planoa bi eskualdetan zatitzeko duten propietatea frogatzen da. Zatiki mota honen baitan doaz zatiki arruntak ere, hots, plano euklidestarrean marraztutakoak, zeinen zatitze propietatea garaiko lanetan ongi ezaguna zen. Bigarren kasuan, planoaren zatiketaren inguruko zatiki bakoitien propietateak aztertzen dira. Horrek zatiki bikoitiaren kontzeptuaren orokorpen berri bat (más aparente que real) ahalbidetzen du.

 

3.2. Bigarren doktore-tesia: espazio abstraktuaren axiomatika

 

    Santamariaren bigarren doktore-tesiak, lehen adierazi dugunez, Rey Pastorrek elementu osagarri soil legez landutako alderdietako bat jasotzen du, espazio abstraktuaren axiomatika hain zuzen. Tesi hori ez dago partzialki ere argitaratuta eta, tamalez, Madrilgo Unibertsitatetik ere desagertu egin zen. Beraren izenburua Estudio de una relación de separación como noción topológica primitiva da. Tesi horrek «Prólogo» eta «Complemento» bat ere baditu, azken hori «Estudio de los espacios de separación hereditaria» izenburuaz. Erabilitako lanak zenbait kasutan aurreko tesiarentzat aipatutakoak dira (Fréchet, Hausdorff, Appert, Seifert-Threlfall eta Kerékjártó-renak). Horiei Menger-en Dimensionstheorie, Bouligand-en Les définitions modernes de la dimension eta Fundamenta Mathematica aldizkarian argitaratutako hainbat artikulu (Urysohn, Zarycki eta Kuratowskirenak espresuki aipatzen ditu) gehitu behar zaizkie.

    Normalki 30eko hamarkadan espazio topologikoen axiomatizaziorako erabilitako jatorrizko oinarriak, deribatua (Riesz-Fréchet), itxidura (Kuratowski), multzo irekia (Sierpinski), auzotasuna eta ingurunea (Fréchet, Hausdorff), eta abar ziren. Bere tesian, jatorrizko nozio gisa espazioaren puntuen eta azpimultzoen arteko banantze-erlazio bat aintzat hartzea proposatzen du Santamariak. Ideia honen inspirazio iturria dagoeneko badauden axioma batzuetatik (bereziki Kuratowskiren IV.etik, non banantzearen antzeko trataera bat dagoen) datorrela dirudi. Santamariak, axioma guztiak banantze-baldintza legez adieraztea proposatzen du, eta ez du lortutako emaitzen alderdi-bikoiztasuna onartzeko zalantzarik agertzen. Izan ere,

 

... los resultados obtenidos nos han demostrado la posibilidad de este método y su mayor uniformidad, en relación con los sistemas ordinarios, aunque también han puesto de manifiesto su menor flexibilidad en las reglas operativas (Estudio de una relación de separación como noción topológica primitiva, 1; aurrerantzean, Relación de separación).

 

    Tesiaren edukia sakonago aztertzen hasi aurretik, «Prólogo»-ari begirada bat bota behar diogu, espazio topologikoen azterketari aplikatutako trataera konjuntistan zehar ibilaldi egokia burutzen baitu.

    Fréchet, Lindenbaum, Bouligand, Riesz, Urysohn, Hausdorff eta beste batzuek egindako espazio abstraktuen ezaugarritze proposamenak kritikoki ikusi ondoren, Santamariak topologiaren oinarritze axiomatikoaren tipologia bat ezartzen du jatorrizko gisa erabilitako kontzeptutik abiatuta, honako hau ondorioztatuz:

 

Entre todos los procedimientos que hemos analizado hasta ahora hay que distinguir, pues, aquellos en que se emplea como primitiva una noción no topológica (distancia, convergencia, entorno) y aquellos otros en los que la noción primitiva empleada es de carácter puramente topológico (punto de acumulación, operación de derivación) (Idem, 9).

 

    Jarraian, jatorrizko nozio ezberdinen gain ezarritako erkagarritasunaren araberako tipologia berria ezartzen du Santamariak, siempre que esta definición (sea) posible. Horrela, bada, egoera hauek ditugu: (i) Definizio bikoitza posible denean, aintzat hartutako nozioak ordena berekoak dira. Horrela, itxiduraren ordena bereko kontzeptuak soilki topologikoak dira, hau da, deribatua, barnealdea, kanpoaldea, muga, ertza, koherentzia, atxikidura, eta abar. (ii) Batzuetan, nozio batzuek itxidura nozioa definitzea ahalbidetzen dute, baina ez alderantziz, adibidez distantziaren kontzeptua edo segida baten limitearen kontzeptua. Hausdorffen espazioko ingurune nozioa eta Frécheten espazioetako auzotasun familien nozioa ere mota horretakoak dira. Kasu horietan, definizioaren ordez baliokidetza-baldintza eskatzen da. (i)-ko nozioak nozio topologikoak dira; (ii)-koak nozio infratopologikoak dira: itxidura definitzen dute, baina itxidurak ez ditu mugatzen.

    Azkenik, Santamariak nozioen hirugarren kategoria bat aipatzen du, zeinak topologiaren jatorrizko nozio gisa balio ez duten: nozio ultratopologikoak dira. Itxidura eragiketak (edo beste edozein nozio topologikok) mugatzen ditu, baina haiek ez dute eragiketa hori mugatzen. Nozio ultratopologiko horietako bat tesian proposatzen den banantze perfektua da, espazioaren puntuen eta azpimultzoen arteko erlazioa. Banantze perfektuaren erlazio hori inbariante topologiko bat edo, nahiago bada, itxiduraren kobariante bat da, baina itxidura ez da banantze perfektuaren kobariante bat. Santamariak bere nozioa ohiko esparruan aurkezten du. Jatorrizko nozioaren aukeraketa, argitasunak eta ikerketaren helburuen arabera nozio bakoitzak eskaintzen dituen abantailek baldintzatzen dute:

 

Tenemos, pues, en resumen, tres tipos de nociones: infratopológicas, topológicas y ultratopológicas. Las primeras pueden servir como nociones primitivas de la Topología, pero debe hacerse notar que se trata de elementos extraños a ella, y cuyo cuerpo de doctrina propio lo constituyen otras geometrías más concretas: así, por ejemplo, la noción de distancia que, aunque útil y cómoda en la Topología, tiene su verdadero campo en el estudio de las congruencias, iniciado por Lindenbaum [...]. Desde un punto de vista puramente lógico no son, pues, las más apropiadas a tal efecto. Las segundas, situadas en el mismo plano que la operación de cierre y en la más fuerte conexión lógica con la misma, son las indicadas, al menos lógicamente, para servir de fundamento axiomático a la Topología. Y las terceras no pueden, en modo alguno, ser empleadas con este objeto salvo para el estudio de ciertos tipos particulares de espacios. En realidad cada una de estas nociones define un tipo, el más amplio, en el cual puede considerársele como primitivo. Así, por ejemplo, ocurre con la noción de separación perfecta (Relación de separación, 27).

 

El problema de la elección de noción primitiva debe, pues, enfocarse en el sentido de elegir entre todas las nociones topológicas aquella que ofrezca mayor claridad intuitiva o más ventajas para los ulteriores desarrollos (Relación de separación, «Prólogo», 19-20).

 

    Horrela, Santamariaren aburuz, proposatutako banantze nozioak, jarduera intuitiboaren mailan, abantaila nabaria eskaintzen du.

    Tesiaren gunean, espazio topologikoetan tazituki erabiltzen diren puntuen eta azpimultzoen arteko lau banantze mota intuitibo aztertuz hasten da Santamaria. Analisi informaletik ondorioztatzen denez, horietatik bat bakarra da jatorrizko nozio izateko gai. Ondoren, espazio topologikoen mota bakoitzean (Frécheten V espazioak, espazio eskuragarriak, eta abar) eskatzen diren baldintza axiomatikoak ezartzen ditu. Azkenik, banantze nozioaren bidez, deribatu, barnealde, muga, itxidura, auzotasun, muga multzo, multzo ireki, itxi, espazioan dentso eta ez dentso kontzeptuak definitzen dira.

    Santamariak Estudio de los espacios de separación hereditaria izendatzen duen zatian («Complemento»), aplikaziozko adibide gisa, V espazioen propietateen azterketarako banantze nozioaren erabilerari buruzko zenbait alderdi aztertzen ditu. Hain zuzen, propietaterik orokorrenak lantzen ditu, batik bat konexioa, kateamendua eta trinkotasunarekin erlazionatuta dauden propietateak. Azterketa honek, azkenik, zenbait kontzeptu barneratzea ahalbidetzen du: puntu isolatuak, metatze finitukoak, kondentsaziozkoak, metatze handienekoak.

 

3.3. Beste zenbait ekarpen matematikari gisa

 

    Aipatu bi tesietan islatutako ikerlan matematiko espezifikoaz gain, maila txikiagoko beste zenbait 'irtenaldi' ere burutzen ditu Santamariak^[31]. Lehenik, aljebra, zenbakien teoria eta geometriari buruzko bere lanak aipatu behar dira, ia beti interes heuristikoa duten oharrak, non, gai baten aurkezpen laguntzaile baten ondoren, azkenean ariketak eta arazoak proposatzen diren. Lan horietako batzuk CEC-eko Círculo de Estudiantes-en erabiltzen ziren. Hor lantzen dira, 'ikasgai' legez, Revista del CEC-en agertutako honako hauek: «Teoría lógica de los números y magnitudes» (10. zkia., 1933, 3-5), «Una posición especial de las figuras correlativas» (10. zkia., 1933, 5) edo «Homología correlativa con un centro y un eje» (12. zkia., 1934, 6-8), non homologia arruntaren —homografikoaren— eta homologia korrelatiboaren (zentro bakarduna eta, beraz, ardatz bakarduna) propietate analogoak erkatzen diren. Horrelaxe lantzen ditu katea kontzeptua eta haren aplikazioak ere «Resolución de cuestiones geométricas por medio de números complejos» (1. zkia., 1932, 3-5) artikuluan. «Concepto y aplicaciones del seno del triedro» (1. zkia., 1932, 5-6) artikuluan, aldiz, triedroaren eta diedroaren sinuaren araberako ekuazioak eskaintzen ditu; ekuazioen errepresentazioa ere planteatzen du («Representación de ecuaciones», 5. zkia., 1933, 2) edo, azkenik, ebazpen ez-jator edo infinituak aljebran aplikatzeko aukera azaltzen du, geometrian puntu ez-jator edo infinituekin egiten den legez («Cuestiones sobre sistemas de ecuaciones», Revista del CEC, IV. urtea, 2. zkia., 1935, 28-31).

    Ekarpen horiek —horietatik asko zenbakien teoria klasikoko oinarrizko arazoak izanik— adierazten dutenez, Santamariak ez die zailtasunei ihes egiten, eta landutako auziak orokortzeaz arduratzen da. Ez dirudi ardura horrek luze iraun duenik, eta are gutxiago inoiz teoria klasiko eta elementalaren mugak gainditu dituenik bere garaiko zenbakien teoriaren eta, bereziki, zenbaki aljebraikoen teoriaren arazoetara hedatzeko. Gauza bera esan daiteke, gure ustez, geometria aljebraikoaren arazo batzuei buruz ere.

    Aljebrari buruz 1968tik aurrera argitaratutako beste hiru lan ere aipa genitzake, gainera. Hirurak ere euskarazko terminologia matematiko edo, espezifikoki, aljebraikoa zehazteko asmo pedagogikoaren testuinguruan kokatzen dira. Lehena, «Aljebra berria», Jakin aldizkarian agertzen da 1968an (29. zkia., 30-40). Artikulu horren xedea aljebra berriaren oinarrizko kontzeptuak aurkeztea da, ikasleak matematikan barneratzeko abiapuntu gisa. Garai berriekin bat eginez, ikaslea nozio aljebraikoetan barneratzen hastearen alde agertzen da, hasiera batean zailagoa dirudien arren. Euskarazko sarrera-testuen gabezia aintzat hartuz, mintzairaren bidez adierazitako lehenengo nozio aljebraikoen hutsunea betetzen saiatzen da. Horrela, elementu, erlazio ('elkarbide' terminoa proposatzen du Santamariak), egitura eta talde kontzeptuak definitzen ditu.

    Aurreko artikuluaren helburua matematikaren didaktika modernoa bultzatzea bada, ia hamarkada bat geroago, Elhuyar aldizkarian, eta bi emanalditan, «Ahoz eta euskeraz irakurtzekotan, nola irakurri behar dira algebrazko formulak?» (I, Elhuyar 6, 1976, 38-45; II, Elhuyar 8, 1976, 46-58) lana argitaratzen du. «Aljebra berria» idazkitik igarotako zortzi urteek Elhuyar taldea eta Udako Euskal Unibertsitatea jaiotzen ikusi dute. Santamariak biotan du parte-hartze zuzena. «Ahoz eta euskeraz irakurtzekotan, nola irakurri behar dira algebrazko formulak?» artikuluko proposamen terminologiko aljebraikorik gehienak egun onartzen direnak dira. Santamaria, horretarako, terminologia eta irakurketa aljebraikoa proposatzen azkenetakoa izateaz baliatzen da:

 

Nere ustez kalkuluaren irakurtzea erregela jakin batzuen bidez egin behar da. Lan hau ez da sekula egin erderazko irakaskintzaz. Zergatik ez egin, ordea, euskerazko irakaskintzaz? Azkenekoak izateak zenbait abantaila izan behar du, noski, eta orain gu eskola antolatzen hasi garelako, besteek baino hobeki egin dezakegu euskaldunok.

 

    Aurreko lanak, matematikaren didaktika modernoaren eta terminologia egokiaren, hau da, aljebra modernoaren edo, behin baino gehiagotan aipatu duen legez, logika matematikoaren sarreraren beharrak bultzatzen ditu.

    Logikaz stricto sensu 30eko hamarkadatik interesa izan arren, alor horretan bere ekarpena oso murritza da. 1980an artikulu bat argitaratzen du Felapton silogismoaren 'froga matematikoaz'. Elhuyar aldizkariaren 18. zenbakian, J.M. Goñik silogismo modu batzuen frogapenak ematen ditu logika kuantifikatzailearen bidez. Horretarako, silogismo bakoitzaren premisak logika matematikoaren mintzairara bihurtu ondoren, horietatik hasi eta proposizio-segida formaldu baten bidez ondoriora heltzen da. Haatik, Felapton silogismoa frogatzerakoan ezintasunean aurkitzen da. Arazoa honela aurkeztu ondoren, Santamariak horren zergatiaren azterketari ekiten dio: zergatik ezintasun hori?

    Â«FELAPTON silogismoa dela ta» artikuluan, Santamariak ondorengo erregela unibertsala aipatzen du: «Existentziari buruz ezer esaten ez duten proposizio batzuetatik ezin daiteke inolako existentziarik atera». Bada, Santamariak ondorioztatzen duenez:

 

Felapton silogismoaren bi premisak unibertsalak dira. Ondorioa, ordea existentziala da. Eman dugun erregelaren arabera hau ezinezkoa da eta, antzinakoen ideia adierazi ahal izateko, eranskin bat gaineratu behar diogu lehenengo premisari («FELAPTON silogismoa dela ta», Elhuyar 22, 1980, 36-43, 42).

 

    Eranskin hori existentziala da: A oro B da, eta A existitzen da. Ondoren silogismoaren froga kuantifikatzailea erraza da, Santamariak erakusten duen legez.

    Bestetik, Santamaria, matematikaren adar berri batez ere arduratu da asmo dibulgatzailez, hain zuzen Shannon-ek bultzatako informazioaren teoriaz. «Nociones fundamentales de la Teoría de la Información» artikuluan (Estudios Empresariales de la Escuela Superior de Técnica Empresarial 65/2, 1965, 75-87), antolakuntzaren eta, bereziki, ekoizpenaren eta enpresaren alorrean lan egiten dutenentzat adar matematiko berri horrek duen interesa agertzen saiatzen da. Bere artikulua dibulgatzailea da, baina, teoria berria oraindik ikasketa planetan sartu ez denez, zientzialariek ez dute Santamariaren aburuz oso interesgarria izan daitekeen lanabes hori ezagutzen. Ondoren, adibide erakargarri eta anitzen bidez, kalkulu informatiboaren funtsezko hiru nozioak aurkezten ditu: (i) balizko zenbait irteera dituen egoera batek duen entropia edo ziurgabetasun-kantitatea, (ii) froga edo esperientzia bati atxikitako entropia, hau da, froga hori egin ondorengo gainerako ziurgabetasun-kantitatea, eta (iii) froga edo esperientzia batek eskain diezagukeen informazio kantitatea, aurreko bi kontzeptuen emaitza dena.

    Azkenik, «Informazioa neurritzen» (Egan 1-6, 1974, 3-11) artikuluan, osagai kontzeptual horiek kriptografiari eta kinielak eta beste hainbat jokori buruzko emaitza xume baina harrigarriak erdiesteko erabiltzen ditu, izaki bizidunek zein makinek, kode linguistikoek edo izaera soziala duten gertakariek parte hartzen duten beste esparru askotan kalkulu informatiboen aplikagarritasuna azaltzeko asmoz.

    Bestalde, eta Revista del CEC-en zuzendari legez, Santamariak «Notas varias» eta «Notas curiosas» ugari idazten ditu, «Problemas propuestos» sailean arazoak proposatzen ditu, Zientzi Fakultate eta Ingeniaritza Eskoletako sarrera azterketetan proposatutako arazoen ebazpenak aurkezten ditu, edo zentroaren edo bera izandako kongresuen (adibidez, 1933ko Zuricheko Matematikaren Nazioarteko Biltzarra) informazio-oharrak idazten ditu, Oñate, Rey Pastor, Julia, Mataix Aracil eta abarren liburuen aurkezpen-ohar laburrekin batera. «Del círculo matemático de estudiantes» bezalako ohar luzeagoak idazten ditu, edo aldizkarian jasotako bestelako hainbat kontsultari erantzuten die. Matematika leunagoa bihurtu eta matematika elementalaren hainbat auzi gazteei modu arin batez aurkeztea helburutzat duten iruzkin laburrak ere eransten ditu, esate baterako determinanteen teoriari buruzkoa; edo kurba edo espazio kontzeptuei buruzko ohar historikoak (hurrenez hurren, 10. zkia., 1933, 1-2; 16. zkia., 1934, 3-4) eta 'geometria proiektiboaren bilakaerari' buruzkoa ere idazten ditu (IV. urtea, 1. zkia., 1935, 2-3).

 

3.4. Matematika oinarri kultural gisa

 

    Santamariaren jardunbidearen azterketatik ondoriozta genezakeenez, badirudi nahiago duela berak Euskal Herriko ikerkuntzaren erdigunea izan estatu- edo nazioarte-mailan leku duina —baina inoiz ez lehen mailakoa— bete baino. Horregatik, ohikoa izaten den legez, norbera baino bikainagoak diren ikerkideengandik urrun mantentzen saiatu beharrean, horietako asko bere albora ekartzen ditu. Bere bizitza moldatu duen herrian finkatzen du bere jarduera, nahiz eta, azkenik, zientziaren zein zientziatik kanpoko alorretan ekimen handiko gizona izanagatik, bere lanak nazioarteko proiekzioa bereganatu. Santamariaren zientzia-jarduerak eman zezakeen guztia eman ote du? Bere matematikagintzari arreta gehiago jarri izan balio, bere ekarpenari garrantzi handiagoa emango ote ziokeen? Santamariaren berebiziko jardunak bere ardura alor anitzetan barreiatu duenez, ziur asko bigarren galderari baietz erantzun beharko genioke. Baina bere jarduna bere osotasunean hartuz, horrek Santamariak alor ezberdinetan lortutako emaitzei meritu handiagoa ematen die. Plano proiektiboaren topologiaz arduratutako Santamaria matematikariaren defizita, bizi behar izan dituen egoeren pentsalari kritiko eta hainbat eta hainbat ekimenen sustatzaile izanarekin erabat orekatuta geratzen da. Baina matematikari huts gisa, Santamariak ikerketa-artikulu kopuru jakin bat argitaratu du. Ziur asko, Revista del CEC-en hileroko argitalpenaz eta izaera sozial eta kulturaleko hainbat jardunez arduratu izan ez balitz, kopuru hori handiagoa zitekeen. Baina hori ezinezkoa izango litzateke jarduera matematikoaren praktika «pour l'honneur de l'esprit humain»^[32] gisa burutzen saiatu denarentzat.

    Santamariak CEC-en emandako hitzaldi baten gaia «La matemática como fundamento cultural» izan zen. Tamalez, testua galdu egin da eta ezin da egilearen gai horrekiko ideiekin harreman zuzenik izan. Baina, dena den, Santamariaren beraren beste idazki batzuetatik eta Rey Pastor bere maisuak kultura matematikaz kanpokoaz zuen interesetik abiatuz, matematikaren ikusmoldeari eta honek giza kulturaren garapenari ekartzen dionari buruzko Santamariaren ideiak zein diren ondoriozta daiteke. Santamariak, «Algunas orientaciones de Klein sobre la enseñanza de la Geometría» (Revista del CEC 12, 1934, 4-5) artikuluan jasotako Kleinen xedeekin bat egiten du: matematikaren xedeak «debe ser capacitar a gran número de individuos para la colaboración en los fines de la cultura humana, cuya tendencia esencial es hoy día la actuación práctica» (Idem, 4).

    Egungo matematikariak kultura orokor zabala izan behar du, bere garaiko zientzia naturala eta teknika ezagutu. Ez dago XIX. mendeko purismo matematikora itzultzerik. XX. mendeko matematika, diziplinarteko eklektizismoaren espirituak gidatu behar du. 'Matematika hutsa' eta 'matematika praktikoa' hurbildu egin dira. «Matematika berria oso pragmatikoa bilakatu da» (Mathematika Zientzia, 60). Eta hori zorionekoa da euskaldunentzako, zeren orain arte Euskal Herrian 'matematika praktikoa' baino ez bazen egiten, orain euskaldunek 'matematika hutsa' ere egingo baitute. Matematika berria, Santamariak 1979an baieztatzen duenez, ereduen matematika da, egituren matematika, hots, ordenagailuaren matematika.

    Matematika hori kulturaren maila guztietan aplikatzen da. Matematikariak ez du bere ikerkuntzaren esparru espezifikoa soilik ezagutu behar. Gainera, matematika potentzialki aplika daitekeen edo matematiko gisa plantea daitezkeen arazoak sor ditzaketen eremuetara ere iritsi behar du. Jakina, Lebesgueren edo Fubiniren teoremen ezagutza eta analisiak matematikariaren interesa pizten du, baina teorema horiek zientzia fisiko eta kimikoetan luzeren, azaleren eta bolumenen neurketarekin duten loturak ikuspuntu berriei, teorema horien ulerkuntza berriei irekitzen die atea. Dagoeneko aipatu dugunez, bigarren mailako hezkuntzako testuliburu tradizionalek ez dute matematikaren eta kulturaren munduaren —gainerako zientziak bertan sartuz— arteko lotura hau errazten. Aitzitik, elementalaren eta goi-mailakoaren bi ikuspuntuen erabilera tradizionalak, matematikaren eta bere ingurune kulturalaren, hots, nolabait esatearren, bere ekosistemaren arteko banantzea larriagotzen du. Ikusi dugunez, Santamariaren ustez, matematika goi-mailako ikuspuntutik egin eta irakatsi behar da beti, bigarren mailako arazoetara aplikatzen denean ere. Aplikazio-mailak bereizi daitezke eta bereizi behar dira, baina inoiz ez erabiltzen den ikuspuntua.

    Matematikaren eta beste instantzia kulturalen arteko ezinbesteko lotura hori ez da bereziki epistemikoak direnetara mugatzen. Matematikaren eta kulturaren arteko erlaziotik sortzen diren arazoetatik batzuk balioen esparruari atxiki behar zaizkie, berezko dimentsio etikoa baitute. Horrela, adibidez, lanabes matematikoen erabilerak, bereziki estatistikenak, iritzi publikoaren manipulaziorako balio dezaketen aukera zabalak eskaintzen ditu. Alderdi horiek guztiak sakonago aztertuko ditugu hurrengo ataletan, zientziaren, teknikaren eta gizartearen arteko elkarrekintzari buruzko Santamariaren hausnarketa aztertzerakoan. Esandakoa onesteko, ikus dezagun Santamariak, 1966ko iruzkin labur batean, orduan hasi berriak ziren ikerketa demoskopikoen inguruan azaldutako kezka. Santamariaren ustez, horietatik lortutako ezagutzek, politikarien eskuetan, inork nahi ez dituen emaitzak ekar ditzakete. «Zoritxarrez politika maneiatzen dutenek ez dituzte gehienetan herriaren egiazko gurak ezagutu nahi, ezagutze horrek makina bat buruhauste ekarriko liekeelako». Arazoa ez datza teorian, matematikan, baizik eta, zientziaren eta gizartearen arteko elkarrekintzari buruzko bere gogoetetan ondoren ikusiko dugunez, zientziaren, matematikaren erabileran: «Matematikak prest daude, ez baina borondateak» («Egunetik egunera», Zeruko Argia, 1966-02-20).

    Beraz, Santamariaren pentsamenduaren oinarri nagusietakoa honako hau da: ez dago matematikagintza matematikaren beraren eta, oro har, zientzia, teknika eta gizartearen arteko elkarrekintzei buruzko pentsamendutik bereizterik. Ezagutza matematikoa, aplikazioen esparruaren bidez, teknikagintzarekin eta, ondorioz, esanahi etikoa eta politikoa duten adierazpide sozialekin jartzen da harremanetan. Santamariak, matematikari legez, ez dio inplikazio horiek aztertzeari ihes egiten. Aurreko ataletan ikusi dugunez, Santamariaren zientzialari-izaera ez dago ukatzerik; hezkuntzaz eta lanbidez matematikaria da. Bere jarduera zientifikoaren islarik nabarmenetakoa, 1.2. atalean ikusi dugunez, 1931n Eusko Ikaskuntzaren baitan Centro de Estudios Científicos sortu izana dela aipa genezake. Bere zientzi ikerketekin batera, gainera, zientzialari eta teknikari berrien prestakuntzan eta hezkuntzan ere lan egiten du Santamariak; ikusi besterik ez dago, esate baterako, ESTE (Escuela Superior de Técnica Empresarial) eta EHUren sorreran Santamariak izandako funtsezko partaidetza. Lehenik, beraz, oso gertutik ezagutzen ditu hala esparru zientifikoa nola esparru teknologikoa. Eta ezagutza horretatik abiatuz, Penintsulan ohikoa ez den hausnarketari ekiten dio: bere jarduerari buruzko hausnarketari, alegia (zientzialariak hemen, Europan ez bezala, ez baitu gogoeta hori egiten). Beraz, zientziaz eta teknikaz diharduenean badaki zertaz ari den.

    Bigarrenik, 2.3. atalean aztertu dugun legez, Santamariak zientzialari- eta teknikari-belaunaldi berrien hezkuntzari berebiziko garrantzia ematen dio. Zientzia, teknika eta gizarteari buruzko Santamariaren hausnarketak kutsu berezia hartzen du hemendik aurrera, filosofia pertsonalistaren eta pentsamendu kristauaren tradizioaren ildotik. Zeinek izan behar du, bada, Santamariaren ustez, hezkuntza horren helburu nagusia? Hezkuntza honek zientzialari eta teknikari gizatiarrak osatzera bideratu behar du, hau da, jakitunak, eta ez, besterik gabe, adituak, jakintsu espezialistak osatzera. Zientziak eta teknikak, gizateriari onura ekarri nahi dioten heinean, ez dute giza balio moralen ildotik desbideratu behar.

    Hirugarrenik, Santamaria hezkuntza mota berri honen nondik norakoak ezaugarritzen saiatzen da. Zientzialari eta teknikari egokiak, gizatiarrak, integralak osatzekotan, zientzia hutsa soilik ala beste zerbait ere irakatsi behar zaie? Bada, helburua ez da, besterik gabe, diziplina bakoitzaren eduki espezializatuak soilik transmititzea. Santamariaren ustez (Maritainen kristau-pertsonalismoaren ildotik), batetik, jakintza zientifikoa, eta, bestetik, mendetako giza esperientziaren fruitu den jakituria bereizi beharreko kontzeptuak dira. Jakintza zientifikoaren baitako eduki horiekin batera, belaunaldi berriei balio gizatiarren eremuaren ateak ere ireki behar zaizkie. Santamariak berak azaltzen digunez, hezkuntza berri horrek humanismo teknologikoan gauzatu beharko luke, hau da, aipatutako jakintza zientifiko-teknikoaren eta jakituria kristau-pertsonalistaren sintesian.

    Zientziaren eta teknikaren pentsamenduari buruzko Santamariaren lehen idazkiak 40ko hamarkadaren erdian agertu dira, Bigarren Mundu Gerraren amaieran, hain zuzen ere. Bonba atomikoen jaurtiketak eragin ezkorra izan du Santamariarengan; gertakari horiek, zientziak eta teknikak gizartearen eta naturaren bilakaeran izan ditzaketen kalte ikaragarriez ohartarazi dute Santamaria. Ondorioz, zientzia eta teknikari buruzko pentsamendu kritikoaren aitzindarietako bat bihurtu da. Esparru teknozientifikoan sumatzen duen deshumanizazio prozesua dela eta, zientziaren eta teknikaren norabide kritikoaren birbideratze gizatiarra eta morala egituratzea izan da Santamariaren pentsamenduaren azken helburua. Pentsamendu hori, batik bat, Euskal Herriko hainbat egunkari eta aldizkaritan argitaratutako 40 bat artikulu laburretan agertzen digu Santamariak.