2. Matematika modernoaz. Santamariaren matematikarekiko ikusmoldea

 

    Santamariak bere artikulurik garrantzitsuenak^[17] Revista del CEC aldizkarian argitaratzen zituen urte berean hasi zen Parisen batzartzen Nicolas Bourbaki izengoitia hartuko zuen matematikari taldea^[18]. Talde horrek sortzen du 'matematika modernoa' deritzona. Ikerkuntzari gagozkiola, korronte berriak aljebra eta topologiarantz eramango ditu haizeak, metodologia berri bat ezarriz, propietate estrukturalen ikerketaren inguruan, eta matematika ikusmolde formalistatik^[19] behatuz. Bourbakiren lehen lanek ikerkuntza mailan izandako onarpenaz gain^[20], 50eko hamarkadan matematika modernoaren eragin metodologiko berria, orokortasunaren eta abstrakzioren bilaketa arau gisa duena, biziki nabarmentzen da unibertsitate-irakaskuntzan, eta hurrengo hamarkadan, irakaskuntza-maila guztietan, ertainetatik unibertsitateraino, lehenengo Frantzian, eta ondoren beste herrialdeetan, Espainian besteak beste.

 

2.1. Matematika puristari eta formalistari kritika

 

    Bourbaki taldearen hasierako planteamendua Hilbert-enganaino atzeratzen da, eta oraindik XIX. mendeko Klein-en planteamenduetan ditu bere erroak. Abiapuntua ondorengo hau da: arazoen ebazpenak, oinarrizkoa izanagatik, ez du matematikagintzaren osotasuna hartzen. Adibidez, Hilbertek azpimarratu zuenez, metatutako ezagupenak nahikoa ugariak eta itxuraz askotarikoak diren garaiak izaten dira, horiek berregituratzeko beharra ager dadin. Emaitzak berrantolatzerakoan, ondorengo une batean, ordura arte ebatzezinak izan diren arazoei erantzuteko modu berriren bat definitu ahal izatea espero daiteke. Ikuskera horrek, egituren (arazoak eta teoriak batzen dituzten sistema formalak) azterketan oinarritutako matematika-tradizio berri baten sorrera eragin zuen. Hauxe da Hilberten programaren eta XX. mendeko matematikaren oinarrizko ezaugarria. Hilberten xedea, ezagutza berregituratu eta eremu jakin bateko emaitzek elkarren berdina zutena hobeki ulertzean zetzan, ongi zehaztutako auzi multzo bat ebazteko asmoz. Bourbakik eta bere jarraitzaileek, aldiz, Hilberten asmoa muturreraino daramate. 40ko eta 70eko hamarkaden artean, helburutzat dagoeneko ezagunak diren adibide berririk gabeko teorien orokorpena duen teoria abstraktu andana bat garatzen da. Bere oinarrizko printzipioa, teoremen, eta, ariketa legez, lanaren amaierara igorritako beren aplikapenen arteko banantzea da. Formalki formulatutako teorien interesa a posteriori frogatu behar da. Nolabait esatearren, alderdi sintaktikoaren eta semantikoaren arteko dikotomia barneratzen da. Horrek, ildo beretik, jaso behar dutenentzat zentzurik ez duten teoria abstraktuetan oinarritutako matematikaren pedagogia proposatzea ekartzen du. Gertakari honek laster areagotu eta indartu zituen korronte berriaren kontrako iritzi kritikoak^[21].

    Zein da Santamariaren iritzia 'matematika modernoaz'? Ez du bere iritzia esplizituki eman, besteak beste, korronte berriak irakaskuntzan sortutako gatazka gure artean hirurogeiko hamarkadan plazaratzen delako. Baina haren jarrera berarentzat maisu izandako matematikariekiko atxikimendutik ondoriozta genezake, hau da, Klein (1849-1925), Enriques (1871-1946) eta Rey Pastor. Lehenengo bietatik, batik bat, matematikaren irakaskuntzaren eta praktikaren alorreko ekarpenak jasotzen ditu. Horrela, Revista del CEC aldizkarian, didaktika alorreko bi matematikarion ekarpen bereziak datoz: «Algunas orientaciones de Klein sobre la enseñanza de la Geometría» eta «Algunas opiniones de Enriques sobre la enseñanza de las matemáticas», hurrenez hurren^[22]. Rey Pastorren aztarna, Santamaria matematikariaren ikerkuntzaren eduki zehatzei lotuago dago.

    Santamaria bat dator Bourbaki bera baino lehenagokoa ere baden matematika huts, formal eta artifiziosoaren aurkako Rey Pastorren eta Enriquesen erasoan. Enriquesek, azken urteetako matematika italiarraren geometriaren kontzeptuaren bilakaera aztertzeko egindako artikulu batean kritikatzen du hura, 1920an Revista Matemática Hispano-Americana aldizkarian argitaratua eta, ezbairik gabe, Santamariak ezagutua. Artikuluaren kritikaren jomuga geometria 'purista' da eta, nolabait ere, bere hitzak geroko bourbakismoari aplika dakizkioke. Matematikaren ikuspuntu puristatik, Enriquesek idazten duenez,

 

... parecía como si al geómetra se abriese un mundo nuevo, en el que bastaba abrir la mano para recoger abundante cosecha de descubrimientos, y donde la imaginación, en triunfal carrera, abría siempre nuevas puertas encantadas, como en un palacio construido por hadas. [...] Apenas los geómetras vislumbraron este mundo encantado, el anuncio de la tierra prometida atrajo rápidamente a los hombres maravillados. Por todas partes se multiplicaron los geómetras. Nuestro país [Italiaz ari da], que había tenido a Cremona, no quedó ciertamente rezagado; aquella fue la época en que, según decía graciosamente un compañero y maestro mío, bastaba sembrar una alubia para ver nacer un geómetra (Enriques, F.: 1920, «La evolución del concepto de la geometría y la escuela italiana durante los últimos cincuenta años», Revista Matemática Hispano-Americana II, 1-17, 3; aurrerantzean, Enriques 1920).

 

    Dena den, berehala hasi zen krisialdia,

 

... muy pronto fue denunciada abiertamente la ilusión de la facilidad en la investigación. Un ingenioso matemático italiano calificó ciertas orientaciones como Tictac-geometría, frase pintoresca que tuvo gran éxito. El punto débil de aquella Geometría artificiosa, que multiplicaba los entes, dando rienda suelta a una imaginación desbordada (y ni siquiera tan rica como a primera vista podría creerse), fue puesto de manifiesto por Segre, en su artículo Su alcuni indirizzi nella investigazione geometrica. [...] El defecto de la orientación de los estudios geométricos, a través de prudentes reservas, había sido advertido por Segre en el citado artículo; consistía, señaladamente en que el problema venía subordinado al método de resolución, o creado directamente por el método; los medios, pues, eran antepuestos a los fines (Idem, 4).

 

    Enriquesen hitzak baino hiru hamarkada geroago, eta Bourbakiren programaren arrakastaren ondoren, Rey Pastorrek bat egiten du matematikari italiarrarekin, oraingo honetan, orokorpenak besterik gabe sortzeko axiomen aldaketa dakarren joko logiko legezko matematikaren ikusmoldean gauzatutako matematika puristaren kritikan. 1951n idazten duenez,

 

Esta libertad absoluta de que se usa y abusa en la creación de nuevos entes, sin el freno que los matemáticos de los siglos anteriores se imponían a sí mismos, bien fuera por preocupación de reflejar entidades naturales o por el fin concreto de llegar a la resolución de un problema, ha conducido a una curiosa inversión de valores. La creación de teorías estaba antes reservada a los grandes, y los mediocres debían conformarse con la resolución de problemas; ahora se han permutado los papeles, y hasta los incapaces de plantear un problema concreto se dedican a la fácil tarea de urdir teorías o generalizarlas, con esta o la otra combinación de postulados. Agotados ya los nombres de la lengua vulgar, se designan por letras las nuevas combinaciones; y escaseando las letras, se apela a los subíndices. Los tipos de espacios abstractos y de álgebras abstractas se cuentan ya por centenares. La producción incesante de los viejos países culturales, acrecentada con la de los nuevos, lanza al mercado nuevas y nuevas combinaciones con rapidez febril; con la misma rapidez cae sobre ellas el manto del olvido. Flamantes teorías hay que perecen apenas publicadas varias memorias del autor, alguna de su ayudante y quizás un par de tesis de los obligados discípulos de ambos; después el vacío y el silencio (Rey Pastor, J.: 1951, «Palabras del Maestro (1951)», in Jorge E. Bosch et al.: 1980, Problemas de la Enseñanza Matemática, Buenos Aires, Edición de Conceptos de Matemática, 20).

 

    Zein da Santamaria, Rey Pastor eta Enriques eta kideko matematikariek, bere bertsio aurrebourbakiar eta bourbakiarrean matematika puristak eragindako gurpil zoroan dagoen gure mende honetako matematikari eskaintzen dioten erantzuna? Ez da, jakina, matematikagintzan (artean legez) askatasunak duen zeregina ukatu nahi. Baina ezin da matematika gizabanakoaren arbitrariotasunaren menpe utzi, metodoa arazoari aurrejartzean halabeharrez gertatzen den bezala. Santamariaren eta beraren maisuen arabera, matematikaren helburua eta eragilea arazoen ebazpena da, eta ez matematika egiteko metodologia distiratsuren baten aplikazio algoritmikoa. Aipatutako artikuluan Enriquesek aipatzen duenez,

 

Desde este punto de vista la crítica frecuentemente dirigida contra la Geometría de hace treinta o cuarenta años, aparece a nuestra vista suficientemente justificada, puesto que aquella Geometría parecía completamente absorta en la contemplación de los objetos formados por ella misma, sin conexión visible con los grandes problemas (Enriques 1920, 4-5).

 

    Enriquesen eta Santamariaren kritikak eta erdigunean arazo handiak kokatzeko aurreratzen duten proposamen positiboak, Hilberten antzeko ikuspegia eta axiomatikaren gehiegikeriekiko bere kritika aldarrikatzen du. Kritika hori zenbait joeren zorrozkeriazko gehiegikeriei ere aplikatzen zaie (aipatutako «Algunas opiniones de Enriques sobre la enseñanza de las matemáticas» artikuluan, adibidez).

 

2.2. Geometriaren eta analisiaren bateratzea eta 'ezagutzaren matematizatzea'

 

    Hilberten eta mende hasierako italiar geometren meritua (Rey Pastorren eta haren eskolaren tartean ezbairik gabe, Santamaria, eredu izango dena) analisiaren arazo klasikoetara hurbiltzera eta beraz matematikaren bateratze bideari jarraitzera jotzen zuen geometriaren kontzeptuaren bilakaera gertatzen ari zela ohartzean datza. Horrela baieztatzen du Santamariak 1935ean:

 

Afortunadamente, es cada vez mayor el número de geómetras que trabajan [Espainiako Estatuan] con los nuevos métodos, siendo cada vez más general la convicción de que es preciso abandonar los prejuicios de la antigua Geometría proyectiva, y utilizar los recursos poderosos del Análisis siempre que convenga («Evolución de la Geometría Proyectiva», Revista del CEC, IV. urtea, 1. zkia., 1935).

 

    Zentzu horretan, analisiaren eta geometriaren arteko kontrajartze artifiziala gainditzen saiatzen dira. Hori, batez ere, Galois-ek formulatutako printzipioaren aplikazio sistematikoak ahalbidetu du, zeinaren arabera matematikaren bilakaera arrazoiketen bidezko kalkuluen ordezkapen jarraian oinarritzen den. Hortik ondorioztatzen da izaera kualitatiboa duen analisiaren erabilera sistematikoa. Eta esparru honetan ezar daiteke pentsamendu geometrikoaren eta pentsamendu analitikoaren arteko baliozko sintesia. Ikuspuntu kualitatiboaren adibide bat ekuazio aljebraikoek ematen digute. Horietan, erroen zenbakizko kalkuluaren ikuspuntua ez ezik ekuazioen egituraren azterketa ere esanguratsua da, zein, hain zuzen ere, izatez esentzialki geometrikoa den.

    Bilakaera horren funtsezko unea Kleinen 'Erlangen-go Programan' (1872) kokatzen du Santamariak^[23]. Programa horrek, ikuspuntu geometrikoa eta analitikoa egoki sintetizatu arren, pentsamendu geometrikoaren analitikoarekiko nagusitasuna ezartzen du. XX. mendera arte, kontrajartzea analisi aritmetizatzailearen eta geometria puristaren artean gauzatzen da. Kleinen proposamena orokortzen duen eta Rey Pastorrek eta Santamariak jarraitzen duten ikusmolde berriaren lorpenik handiena, fisika matematiko klasikoarekin harreman zuzenean garatutako analisiari berezkoa zaion ikuspuntu analitiko-kuantitatiboaren eta Kleinen programaren ikuskera sintetikoaz hornitutako Riemann-en pentsamendu geometrikoari berezkoa zaion ikuspuntu sintetiko-kualitatiboaren arteko kontrajartze antzu hori gainditzean datza.

    Bi ikuspuntuen uztardurak XX. mendeko matematika errotik berriztatu du. Geometraren jarduera analisi matematikoaren edozein esparrutan garatzea ahalbidetu ez ezik —hobeto esanda, alderantziz: ekuazio diferentzialen integrazioaren teoria osoa jarduera geometrikoaren esparrura erori da, Lie-k hura transformazio-taldeetan oinarritzean—, dagoeneko ez dago analisia eta geometria ontologikoki bereizten dituen objektu-ezberdintasunik, ikuspuntu-ezberdintasun soila baizik. Matematika berria ez da esentzialista, baizik eta funtzionala. Ez dago e zenbakiari edo i zenbakiari zerizanik esleitzerik.

    Revista del CEC-en 3. zenbakian (1933) argitaratutako «Nota curiosa» labur batean, Santamariak jite esentzialistadun kontzeptuetan oinarritutako XIX. mendeko espainiar matematika kritikatzen du. Matematika haren 'filosofismo matematikoa' salatuz, garai hartan ospetsu izandako Rey Herediaren liburu klasiko batetik zenbait definizio jasotzen ditu Santamariak. Honela dio e zenbakiaren definizioak:

 

Potencia finita obtenida por la evolución infinita de la unidad estéril, fecundada por la adición de un elemento infinitesimal, expresa el máximo desarrollo a que puede aspirar la unidad con el mínimum de aptitud evolutiva con una evolubilidad cuantitativa infinitamente pequeña...

 

    Matematika egiteko era horrek badu Santamariaren garaian bertan ere eraginik oraindik, berak berronesten duenez:

 

Resulta asombroso analizar ahora estas alambicadas disquisiciones, consideradas en un tiempo como luminosos razonamientos matemáticos; pero no tanto para nosotros, que aún padecemos, desgraciadamente, los residuos del filosofismo matemático, y soportamos todavía en libros de textos, definiciones como aquella [...] («Nota curiosa», Revista del CEC 3, 1933, 4).

 

    Horrela, bada, Kleinen Erlangengo Programak hasitako matematika berriak beste ikuspuntu batean kokatzea ahalbidetzen du, «en un punto de vista elevado, completamente nuevo, la teoría de los grupos de transformaciones, y desde él contempla todo el campo matemático, observando las lagunas de la Geometría y descubriendo las direcciones en que puede extenderse» («Evolución de la Geometría Proyectiva», Revista del CEC, IV. urtea, 1. zkia., 1935, 2). Ikuspuntu berri honek matematika berri baten izaera funtzionala zertzen du. Izan ere,

 

Lo que caracteriza a cada Geometría no es la naturaleza de los elementos con que opera, ni el método de investigación; sino el grupo de operaciones que le sirven de base. Y así, lo que caracteriza a la Geometría proyectiva es el grupo de transformaciones proyectivas, ante el cual son equivalentes todos los segmentos, todos los ángulos, todos los triángulos, etc. Mientras que lo que caracteriza a la Geometría métrica es un subgrupo del anterior, subgrupo formado por todos los movimientos, las homotecias y simetrías, y ante el cual se distinguen ángulos especiales: rectos, agudos, etc.; triángulos especiales: rectángulos, obtusángulos, etc. (Idem, 2-3).

 

    Era honetan, «zer da zenbaki bat?» edo «zer da e zenbakia?» galderei ezin zaie Rey Herediaren erara erantzun. Aitzitik, Santamariak bere egiten du Bachelard-ek matematikarentzat zein beste zientzientzat proposatutako kontzeptualizazio-eskema. 30eko hamarkadatik aurrerako zenbait lanetan, zientziaren prozesu kontzeptualizatzaile horren hainbat adibide konbentzigarri eskaintzen ditu Bachelardek. Hamarkada batzuk geroago, Santamariak horietako bi adibide aipatzen ditu, masa eta zenbaki kontzeptuak (Mathematika Zientzia, 57-59). «Zer da masa?» galdetu nahi izanez gero, erantzunak ezin du bakana izan. Bachelardek, eta harekin Santamariak, kontzeptualizazio prozesuan zenbait maila, zenbait episteme bereizten ditu. Abiapuntua, geroago ezabatu egingo diren oinarrizko behaketa antropozentrikoez hornitutako ikuspuntu errealista da (animista ez bada). Hurrengo epistemean masari ondorengo epistemeen alderdi berriak eransten zaizkio. Horrela, errealismo inozoaren arabera, masa kontzeptuak esanahi bat dauka bere baitan, higidura kantitate legez (Newton). Baina mekanika hamiltondarraren baitako bere esanahiak masa kontzeptuaren benetako izaera aurkezten digu: ez da kontzeptu bat bere baitan, espazio abstraktu baten metrika bat baizik, bere esanahia soilik eraikuntza konplexu baten (hau da, mekanika hamiltondarraren) urrats legez jasotzen duena. Horrela, Dirac-en masa negatiboaren kontzeptua ahalbidetzen da.

    Ildo horretatik, «zer da zenbaki bat?» galdetzen badugu, erantzunak haren kontzeptualizazio historiak izandako prozesuari begiratu behar dio, Santamariaren hitzetan, zenbakiaren kontzeptu orokor bat ez dagoelako. Izan ere, greziarren zenbaki kontzeptua zenbatzearen eta neurtzearen eragiketa matematikoei lotzen zitzaien. Planteaturiko arazoen ebazpenak zenbaki mota berrien agerpena ekarri zuen, zenbaki natural eta errealez gainera. Bi zenbaki mota horiek txikiegiak dira, adibidez, ekuazioen ebazpenaren inguruko arazoei aurre egiteko. Horrela, aljebraren oinarrizko teoremak (n mailako ekuazioak zehazki n ebazpen onartzen ditu) zenbaki mota berri bat eskatzen du, zenbaki konplexuen klasea hain zuzen. Zenbakia erreminta guztiz konbentzionala da gure kalkuluaren beharretara egokitua. Zenbaki kontzeptua kontzeptu funtzionala da, proteikoa, matematikaren eta matematika aplikatzen zaien zientzien beharrei eta eskakizunei egoki dakiekeena. Honetantxe datza, beraz, egungo matematikaren funtsezko ezaugarria: «gaurko matematika berriaren lehen helburua ez da zenbakia, ez kantitatea, ez kontatzea, ez neurtzea, baizik eta ezagutza zientifikoa formalizatzea, eredu matematikoen bidez».

    Izate matematikoen izaera proteiko horrek 'ezagutzaren matematizatzea' legez ezagutu izan denaren berebiziko garapena ahalbidetzen du. Eta zientziaren matematizatze unibertsalaren testuinguruan zaila da, sarritan, zientzia-diziplina bat eta matematika non hasi eta bukatzen diren zedarritzea, esate baterako Santamariak jasotzen dituen bi kasuotan: logika formala eta matematikan edo 'Arauen kalkulua' izendaturikoan (besteak beste, von Wright, Kalinowski eta Sánchez-Mazas bere lagunak garatutakoa), non zaila gerta dakigukeen matematikaren zati bat ala zientzia juridikoa den erabakitzea.

    Harrigarria dirudi, dena den, ondoren, 30 eta 40ko hamarkadetan sortutako tradizio positibista logikoari jarraituz, matematika mintzaira legez ezaugarritu izana. Ideia hori 1979an erabiltzen ziren testulibururik gehienetan agertzen zen. Hori bai, «hizkuntza honek gauza asko gehiago esaten du gaur, berrogei urte baino». Haatik, ez dirudi Santamariak hemen erabilitako mintzaira kontzeptua, zientzian adierazitako ideien hedapenerako lanabes hutsarekin identifika genezakeenik. Matematikak, gainera, mintzairak gure mundua legez, zientziaren mundua eratzen laguntzen du, zientzia adierazteaz gainera. Zientziaren errealitatearen alderdi eraikitzaile horren adibide esanguratsua, konputagailuen matematikak eskaintzen duen aukera berria dugu. Ordenagailuei lotutako mintzaira matematikoaren agerpenak azaltzen du nola «zientziaren baloreak eta bideak aldatzen diren». Era berean, matematika berriak, ekuazio diferentzialetan adierazitako Fourier-en eta Laplace-ren fisika matematiko klasikoaren tradizio kuantitatiboa eraldatu du, Fisika teorikoa, izaera errepresentazionala duten errepresentazio geometrikoen eraikuntzan oinarritutako pentsamenduaren eraikidura sintetiko gisa interpretatzera behartuz.

    Horrela, bada, XIX. mendeko matematika 'puristaren' eta XX. mendeko formalismo abstraktuaren pobreziaren aurrean, Santamaria matematikaren ikusmolde sintetiko-kualitatiboari atxikitzen zaio, non lehentasuna geometriak duen. Jarrera horrek ondorio esanguratsuak ditu, batik bat Santamaria matematikariaren jardunaren arreta nagusia pizten duen alorrean, hau da, matematikaren irakaskuntzari buruzko jarreren esparruan.

 

2.3. Matematikaren didaktika

 

    Matematikari buruzko Santamariaren ikusmolde epistemologikoa, batez ere, matematikaren irakaskuntzaren bideratze egokiaz Santamariak duen ardurak baldintzatzen du. Matematikari legez sortutako ekarpenak, izan ere, benetako ardura didaktikoaren kutsua dauka. Haatik, eta matematikari buruzko bere ikusmoldeaz esan dugun legez, ez dago Santamariarengan gaur egun matematikaren didaktika gisa ezagutzen denari buruzko jarrera espezifikorik. Argi geratzen da, dena den, matematikaren berezko metodoaren eta matematikaren irakaskuntzaren lehentasuna. Bi alderdiok, aurreko atalean matematika berriaren izaerari buruz adierazitako oinarrizko gogoetak partekatzen dituzte: aplikazioaren esparrua gutxiesten duten purismoaren eta bourbakismoaren gehiegikeriekiko kritikak, matematikaren ikuskera historiko-filosofiko jakin batekin egiten du bat. Hain zuzen, historia horrek gidatu behar du matematikari gazteen hezkuntza. Bada, matematikaren historiaren funtsezko ildo tradizionaletatik abiatuz berriztatu. Matematikariak bere garaiko kulturaren baitan barneratu behar du eta bere hausnarketa didaktikoak jasoko dituen esparru historikoa ezagutu. Horixe da Revista del CEC aldizkaria osatzen duten era guztietako gogoeta historiko anitzek islatzen duten irakasbidea.

 

2.3.1. Adar matematikoen arteko lotura matematikaren irakaskuntzan

 

    Horrela, matematika berriak funtsezko bide berri bat baldintzatzen du matematikaren didaktikan: ez da hormarik eraiki behar matematikaren adarren artean. Adar matematikoen definizio tradizionalak ezabatu ditu matematika berriak, eta matematika-ikasleari mezu berri hori zabaldu behar zaio; izan ere, «los conceptos de Klein, sobre la Geometría, no son tan abstractos que no puedan llevarse a la mente del novicio, siquiera sea de un modo superficial y valiéndose de ejemplos referentes a teorías ya conocidas» («Variedades», Revista del CEC 8, 1933, 5). Zenbaki naturalen edo zenbaki errealen teoria bati buruz baino zenbakien teoriari buruz hitz egin behar den modu berean, ez da matematikaren adar tradizional bakoitzari legozkiokeen teoria eta auzi espezifikoak atxikitzeko irizpide arbitrariorik ezarri behar. Hauxe da XX. mendeko matematikak hasitako ildo berria. Ikusten ari garenez, Santamaria ildo horri atxikitzen zaio. Horrela, egun, geometria diferentziala ez da geometriaren familiako (geometria euklidestarra, geometria esferikoa, geometria hiperbolikoa, eta abar) osagai bat besterik gabe; aitzitik, barietate geometrikoen kategorien egitura aztertzen duen geometrien balizko teoria gisa hartzen da^[24].

    Eraldaketa honen zentzua harrapatzeko 'Erlangengo Programaren' espirituaren azterketa sakondu beharko genuke. Ikusmolde honi berezkoa zaion funtzionaltasunak subjektua kokatzen du irakaskuntzaren erdigune gisa. Irakaskuntza ez dago soilik irakatsi beharreko edukiaren menpe, «sino sobre todo del sujeto a quien se enseña» («Algunas orientaciones de Klein sobre la enseñanza de la Geometría», Revista del CEC 12, 1934, 4). Horrela, bada, gai bat bera ezin dakioke era berdinean aurkeztu sei urteko haurrari edo hamarrekoari edo helduari. Esaterako, irakaskuntza ertainetan Geometria irakasteko, irakaskuntza intuizio konkretuan oinarritu behar dugu, gero osagai logikoak pixkana-pixkana barneratuz.

    Alta, bada, horrek ez du esan nahi intuizio hori mende hasierako Geometria aljebraikoa zeritzan zein beste eremutan aldarrikaturiko programaz, hots, irudien eraikuntza geometrikoa erreala eskatzen zuenaz, pareka daitekeenik. Kleinen Erlangengo programari jarraiki^[25], Santamariak baztertu egiten du irudien eraikuntzari dagozkion arazoak erregelaz eta konpasaz soilik baliatuz ebatzi daitezkeenak direnik. Arazoen planteamendua irudion eraikuntza materialetik askatu behar da, abstraktuki planteatu behar da, irudien eraikuntza materiala lagungarria bada ere. Jakina denez, Kleinen programa simetria-arrazoitan oinarritzen da, zeintzuk Leibnizen behar besteko arrazoiaren printzipioaren kasu partikularrak diren: teorema baten datuek eta hipotesiek simetria-osagaiak dituztenean, orduan ez dago behar besteko arrazoirik ondorioak ere simetria berberak eduki ez ditzan. Orokortuz, enuntziatua transformazio batez aldaezina bada, beste horrenbeste gertatu behar du erantzunaz. Hortaz, enuntziatua mantentzen duen transformazio-taldea eta talde horretarako bera ere aldaezina den frogapen bat aurkitzera jo beharko dugu. Frogapen hau arazoaren oinarrizko zailtasunak agerrarazteko baliagarri gerta daiteke. Arazo bat aztertzeko, arazo hori forma kanonikora eraman behar dugu. Adibidez, triangeluaren kasuan Santamariak dioenez:

 

... para obtener un gran número de problemas difíciles, basta escoger los tres elementos que determinan un triángulo de diferentes modos, o mejor aún, del modo que la solución pueda presentar mayores dificultades (Idem, 5).

 

    Eta horrela kanonikoki lauki oso batek paralelogramo bat perspektiban ematen du, edota planoaren zirkulu pare bat bi zuzen edo bi zirkulu zentrokide bihurtzen da.

    Horrela, bada, triangelu isoszelearen analisia azterketa honetara mugatzen da Kleinen irakaskuntzan: triangelu isoszelea simetria-ardatz bat duen triangelua da. Horretan datza haren identitatea. Irudiaren eraikuntza mota honetako problema teorikoei datxekie. Erregela eta konpasean soilik oinarrituriko eraikuntzak, ostera, ezin ditu auzi teorikook agerrarazi eta are gutxiago arazoak ebatzi, «lo que contribuye a que la turba de cuadradores y trisectores no desaparezca nunca» (Idem, 5). Geometria analitikoa da alternatiba; berau txertatu behar da eskoletan lehen mailetatik, geometriaren espiritua gaztetxoengan barnera dadin.

    Metodo egokia metodo genetikoa da, «porque permite al alumno ir penetrando en las cosas sin esfuerzo» (Idem, 4). Bourbakiren metodotik urrun, beraz. Metodo genetiko hori, Sokratesek Menon hizketaldian maieutika deritzonaren gaurkotzea dela esan dezakegu; prozedura horri esker, gatibuak karratuaren aldearen eta diagonalaren elkarneurgaiztasuna aurkitzen du^[26]. Metodo genetiko horrek berez garamatza «[a] conceder cada vez más atención a las ciencias naturales y a la técnica en el estudio de la matemática» (Ibidem). Eta hemen ere, matematika 'modernoarekiko' aldea begi-bistakoa da, arestian esan dugunez, Bourbakiren zerizanezko xedea 'teoremen' eta haien aplikazioen artean errotik bereiztea baita. Honela, aplikazioak liburuen azken aldeetan agertzen dira, ariketa gisa. Muina teoria abstraktuetan datza, edo, bestela esanda, matematikagintzan dikotomia barneratzen da, beraren alde sintaktikoaren eta semantikoaren artean hari lehentasuna emanez. Teoria matematikoak abstraktuki formulatu ondoren, haientzako adibide eta froga gisa a posteriori balia daitezkeen aplikazioak aurkitzen saiatuko da matematikari formalista. Santamariaren aburuz, ostera, Kleinen espirituan, matematika arlo ezberdinetako (bai eta natur zientzietako) arazo zein teoriak bateratzen dituzten sistema formalen azterketa da. Baina matematika naturalizatu hori ez da bourbakiar formalismoan erortzen.

 

2.3.2. Matematika elementala/goi-mailako matematika bereizketaren erlatibizatzea

 

    Matematikaren didaktika berriak, beraz, esentziala ez den hiru mailen arteko bereizketa jaso behar du, irakaskuntzaren xedeen arabera: lehen mailakoa, bigarren mailakoa eta goi-mailakoa. Maila bakoitzak, bertan dituen subjektuen ahalmenaren neurrira ezarritako xede zehatzak ditu^[27]. Revista del CEC-en 6. zenbakian, ikaskuntza matematikoaren izaera maieutiko eta esperimentala gogora ekartzen duten Le Bon, Rey Pastor eta Enriquesen erreferentziak jasotzen ditu. Le Bonen testuak, ikaskuntzaren lehen mailarentzat Mill-en induktibismoaren oihartzuna duen matematikara igortzen gaitu:

 

Si la ignorancia de la psicología infantil no fuese tan universal y profunda, todos los pedagogos sabrían que el niño no puede comprender las definiciones abstractas de la Gramática, de la Aritmética o de la Geometría y que las recita como pudiera hacerlo con las palabras de una lengua desconocida. Solamente lo concreto le es accesible. Cuando los casos concretos se hayan multiplicado suficientemente, será su inconsciente el que se encargará de deducir las generalidades abstractas (4. or.).

 

    Rey Pastorren gogoeta, aurrekoaren jarraian jasoa, irakaskuntza matematikoaren praktikari gehiago egokitzen zaio, sorkuntza zein irakaskuntza matematikoarentzat estrategia monista bat adieraziz:

 

Hay que partir de las ideas primitivas, toscas y confusas, que ya poseen los alumnos y encaminarlos de tal modo que ellos mismos se percaten de su imperfección contradictoria y demanden su perfeccionamiento. Este ha sido el camino seguido por la humanidad para crear las Matemáticas, y ese mismo debe ser el método para enseñarlas (Idem, 5).

 

    Matematikak eskatzen duen errepresentazio abstraktuaren maila lortzearren estrategia guztiak dira onargarriak, baita esperimentalak ere, Enriquesen hitzetan atzeman daitekeenez: «Si no se quiere una abstracción ilusoria, se necesita educar la capacidad representativa de lo abstracto, recurriendo también a medios experimentales» (Idem, 6).

    Ikaskuntza matematikoaren mailen helburuen arteko bereizketak ez du, haatik, oinarrizko matematikaren eta goi-mailako matematikaren arteko bereizketa funtsezko bilakatu behar. Matematika berrian geometriaren adarren arteko bereizketa esentzialista zaharrak desegin diren bezala, ez du zentzurik matematikaren irakaskuntza zuzenarentzat oinarrizko matematikaren eta goi-mailako matematikaren artean funtsezko bereizketarik egitea, «como todavía hacen algunos. Con estas superioridades, quédanse esos muy satisfechos, sin darse cuenta de que son la expresión de su propia ignorancia» («Variedades», Revista del CEC 8, 1933, 5). Aitzitik, badira joera orokorra zein izan behar duen zedarritzen duten ekarpen aipagarriak. Joera horren berri Zurich-eko Matematikaren Nazioarteko Biltzarrean jasotzen du Santamariak, eta Revista del CEC-en hari buruzko oharra eskaintzen du. Joera horren adibide gisa, ordurako gaztelerara itzulitako Kleinen eta Enriquesen lanak aipatzen ditu Santamariak, Matemática elemental desde el punto de vista superior eta Cuestiones referentes a la matemática elemental, hurrenez hurren.

    Ikusmolde berriak matematikaren irakaskuntzaren osotasuna goi-mailako ikuspegi batetik hartzen du:

 

La tendencia más general que parece manifestarse es la de la formación completa del profesorado en tal sentido, que éste pueda considerar las cuestiones elementales desde un punto de vista superior, con objeto de evitar el difícil paso que a veces es de efectos los más deplorables, de los métodos y enseñanzas elementales a los estudios e ideas superiores («El Congreso Internacional de Matemáticas de Zurich», Revista del CEC 2, 1933, 4).

 

    Ikusmolde horrek korronte estrukturalista formalisten eta bourbakismoaren irizpide pedagogikoen gehiegikeriei aurre egitea ahalbidetzen du. Rey Pastorren hitzetan,

 

... huyendo de la general tendencia a elevar por abstracción los asuntos elementales, hemos prescindido de todo formalismo, esforzándonos, por el contrario, en elementalizar las cuestiones difíciles sin menoscabo del rigor (Elementos de Análisis algebraico, Madril, 1917, Sarrera).

 

    Ikuspuntu horrek ez du oraindik gaurkotasunik galdu. Maila bateko zein besteko matematikako egungo testuliburuek goi-mailako eta bigarren mailako irakaskuntzaren arteko hausturaren irudia larriagotzen dute. Adibidez, topologia orokorraren ikasketa sistematikoa unibertsitatean baino ez da gauzatzen. Eta, haatik, bigarren mailako hezkuntzaren oinarrizko auzietan behin eta berriro hartzen du parte inplizituki. Irakasteko zailak diren gaiak eta arazoak dira, hain zuzen, sarritan zailtasun topologikoak ezkutatzen dituztenak. Komenigarria litzateke ikasleari topologia irakastea, ez matematikaren atal hori ikas dezan, ikasten dituen bestelako matematika-gaiak ulertu eta menperatu ahal izateko baizik.

 

2.3.3. Arazo matematikoa: matematikaren irakaskuntzaren muina

 

    Santamariak aldarrikatutako matematikaren didaktikarentzako goi-mailako ikuspuntuaren berezko osagaia matematikaren praktikan eta irakaskuntzan arazoek duten funtseko garrantzian datza. Aurreko atalean aipatu denez, matematika berriaren muina arazoa da. Beronek ahalbidetzen du ikaskuntza eta ikerkuntza batzea. «Problema ikerketa txiki bat da, edo izan behar luke». Horretxegatik, Santamariak zuzenduriko aldizkaria, Revista del CEC, arazo-aldizkaria zen oroz gain, «goi mailako eskoletan proposatzen ziren problemak agertu eta erabiltzen zituena», 1979an gogoratuko duenez. Eta Santamariak eransten duenez, oraindino ere, «baliteke geuk orain antzinako lanari berari berriz ere ekitea, problemaren teknikak matematika-ikertzaileen formaziorako bere garrantzia galdu ez duelako». Ramón y Cajalen aholkua bere egiten du Santamariak: zerbait ezaguna ikastean, ezezaguntzat eman ezagun hori, aurkikuntza berri bat egiten ari bazina moduan; aurkitutakoa berriz ere aurkitu, alegia. Jakina, norbaitek esan dezake horrela 'mediterraneoa' aurkitu besterik ez dela egiten, Rey Pastorrek Santamaria gazteari esan zion legez, baina «gaur Mediterraneoak aurkitzen dituen ikasle gazteak biharko egunean egiazko ozeano berriak aurkitzea posible izango du» (Mathematika Zientzia, 62).

    Beraz, matematikari eta haren irakaskuntzari buruzko Santamariaren ikusmoldea sistematizatuz, honako ideia hauek ondoriozta genitzake:

 

    (1) Matematika egitea arazo matematikoak ebaztea da, matematikaren beraren problematikatik edo matematika aplikatzen den beste zientzia-esparruetako arazoen ebazpen saiakeretatik sortzen direnak, hain zuzen ere.

    (2) Matematikaren berezko jarduera kontzeptu matematikoen funtzionamendu koherente eta eraginkorrean datza, (1)-en aipatutako arazoak ebaztearren.

    (3) Kontzeptuen ezaugarritzea, arazoen ebazpen prozesuen baitako haien erabilera eta funtzionamenduaren bidez gauzatzen da.

    (4) Maila anitzen bidez, matematikaren irakaskuntzari atxikitzen zaizkion helburuen lorpenaren jarraitutasuna ziurtatu behar da.

    (5) Kontzeptu matematikoen eraikuntza arazo handietatik eratortzen diren problematiketan oinarritzen da; arazo handi horiek antolatzen dute estrategia didaktiko orokorraren egitura.

    (6) Ikerkuntzaren espirituak suspertu behar du matematikaren irakaskuntza.