Algunos problemas a modo de ejemplo

En esta sección proponemos algunos problemas de olimpiadas pasadas con el fin de dar una idea de las cuestiones que se suelen plantear. En ningún caso se pretende ser exhaustivo, se trata solamente de dar ejemplos que ilustren algunos de los tipos de problemas más frecuentes. Entre paréntesis se indica la fase de la olimpiada en la que apareció y el año.

Comenzamos con un par de problemas en cuya resolución es clave la dualidad par-impar.

1. En un tablero de damas (8×8) colocamos las 24 fichas del juego de modo que llenen las tres filas de arriba. Podemos cambiar la posición de las fichas según el siguiente criterio: una ficha puede saltar por encima de otra a un hueco libre, ya sea en horizontal (a izquierda o derecha), en vertical (arriba o abajo) o en diagonal. ¿Podemos colocar las fichas en las tres filas de abajo? (Primera fase, 2004) (Ayuda)

2. Colocamos, formando una circunferencia, 2004 fichas bicolores: blancas por una cara y negras por la otra. Un movimiento consiste en elegir una ficha y dar la vuelta a tres fichas: la elegida, la de su derecha y la de su izquierda. Supongamos que inicialmente hay una sola ficha con la cara negra hacia arriba. ¿Será posible, repitiendo el movimiento descrito, conseguir que todas las fichas tengan la cara blanca hacia arriba? ¿Y si tuviéramos 2003 fichas, entre las cuales exactamente una tiene al comienzo la cara negra hacia arriba? (Segunda fase, 2004) (Ayuda)

Los dos problemas siguientes son de geometría.

3. Se considera una circunferencia de centro O, radio r y un punto P exterior. Se trazan cuerdas AB paralelas a OP.

a) Demostrar que PA²+PB² es constante (PA y PB denotan las distancias de P a A y B, respectivamente).

b) Hallar la longitud de la cuerda AB que hace máxima el área del triángulo ABP.

(Primera fase, 1996) (Ayuda)

4. Demostrar que en un cuadrilátero convexo de área unidad, la suma de las longitudes de los lados y diagonales es mayor o igual que 2(2+√2). (Segunda fase, 1997) (Ayuda)

El siguiente es un problema típico de combinatoria.

5. Sea A={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se consideran las funciones f de A en A. ¿Cuántas de ellas verifican que f²(x)=x, para todo x de A? ¿Cuántas verifican f³(x)=x, para todo x de A? (Nota. f²(x)=f(f(x)); f³(x)=f(f(f(x))) ) (Primera fase, 1998) (Ayuda)

Aunque también es de combinatoria, el siguiente problema se resuelve de forma distinta.

6. Un subconjunto A contenido en M={1, 2, 3,…,10, 11} se dice majo si tiene la siguiente propiedad:

“Si 2k está en A, entonces los números 2k-1 y 2k+1 también están en A”

(el conjunto vacío y M son majos). ¿Cuántos subconjuntos majos tiene M? (Primera fase, 1994) (Ayuda)

Otro problema de contar, aunque a simple vista puede no parecerlo, es el siguiente.

7. ¿Podemos trazar 2003 segmentos en el plano de forma que cada uno de ellos corte exactamente a otros tres? (Primera fase, 2004) (Ayuda)