Si f cumple la primera condición y x es un elemento de A, podemos emparejar x con su imagen f(x). Observar que f(x) se empareja con f(f(x))=x, así que los elementos de A se emparejan de dos en dos, excepto para aquellos x que cumplen f(x)=x (y que sólo se ``emparejan´´ con ellos mismos). Ahora si lo que queremos es construir las funciones f cumpliendo f(f(x))=x para todo x, lo que tenemos que hacer es prefijar los elementos de A que deben quedar fijos por f y emparejar el resto. Para cada una de estas parejas, se definirá la imagen de un elemento como el otro en la pareja.
El otro caso es similar aunque habrá que considerar ternas en lugar de parejas.