GEOMETRIA. CIRCUNFERENCIAS

Ayuda para el Problema 7

La clave está en una propiedad del baricentro: si por el baricentro de un triángulo se traza la paralela a uno de los lados, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos que guardan la proporción 2:1, por lo tanto, la altura del triángulo perpendicular al primero de los lados también queda dividido según la misma relación 2:1. El apartado (i) se demuestra rápidamente si se relacionan las alturas y el radio r de la circunferencia inscrita con el parámetro adecuado del triángulo. Una vez resuelto el apartado (i), es inmediato dar unaf órmula para (g_a+g_b+g_c)/r. Lo que exige un poco de ingenio es probar que dicha cantidad es mayor o igual que 3. Hacer manipulaciones algebraicas para que aparezcan cantidades de la forma x+(1/x) y observar que estas cantidades, cuando x es positivo, siempre son mayores o iguales que 2.