Descripción y contextualización de la asignatura

El objetivo de esta materia es la adquisición de los conocimientos, habilidades y destrezas necesarios para resolver problemas numéricos en finanzas mediante un ordenador.

Los estudiantes deberían haber cursado las asignaturas de “Matemáticas y Estadística”, “Procesos Estocásticos”. Los conocimientos adquiridos y las herramientas desarrolladas son útiles para otras asignaturas obligatorias de la titulación, como “Derivados”, “Valoración de Activos”, y “Gestión de Riesgos”.

Convocatoria ordinaria: orientaciones y renuncia

Las ponderaciones para obtener la calificación final se aplicarán únicamente si el alumno/a obtiene una calificación global de 5 sobre 10 en las pruebas individuales. En caso contrario, la calificación final será la obtenida en las pruebas individuales.

No presentarse al examen de la asignatura supone una renuncia a la correspondiente convocatoria.



La Comisión Académica podrá modificar el sistema de evaluación de las asignaturas por causa sobrevenida. Cualquier posible cambio será anunciado al alumnado a la mayor brevedad posible a través de la plataforma egela.

Temario

1. Introducción a la programación en Matlab



2. Introducción al cálculo numérico

• Errores numéricos y su propagación

• Sistemas de ecuaciones lineales

• Autovalores y autovectores

• Ceros de funciones

• Interpolación y extrapolación

• Ajuste y aproximación de funciones

• Optimización

• Cuadraturas y diferencias numéricas

• Métodos Montecarlo para cuadratura



3. Simulación en finanzas

• Métodos Montecarlo para simulación

• Simulación en modelos discretos

• Simulación continua: ecuaciones diferenciales estocásticas

• Series temporales



4. Ecuaciones diferenciales ordinarias: métodos explícitos e implícitos

• Algunos conceptos básicos: interpretación geométrica de la derivadas y el desarrollo en serie de Taylor.

• Resolución numérica de las ecuaciones diferencias ordinarias:

a. Método de Euler adelantado (explícito)

b. Método de Euler atrasado (implícito)

c. Método del punto medio.

d. Métodos de Runge-Kutta

• Reducción del orden y un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Análisis de errores y estabilidad.



5. Ecuaciones en derivadas parciales: métodos explícitos e implícitos

• Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden.

• Condiciones iniciales y de contorno.

• Representación en diferencias finitas de la ecuación hiperbólica en derivadas parciales (ecuación de advección):

a) Método adelantado en el tiempo y centrado en el espacio (método explícito).

b) Análisis de la estabilidad: método de Von Neumann.

c) Método de Lax

d) Análisis de estabilidad: condición Courant-Friedrichs-Lewy

e) Método de salto escalonado.

• Representación en diferencias finitas de la ecuación parabólica en derivadas parciales (ecuación de difusión):

a) Método adelantado en el tiempo y centrado en el espacio (método explícito).

b) Métodos implícitos:

i. Método implícito completo.

ii. Método de Crank-Nicholson (descomposición LU y método SOR).



6. La ecuación de Black-Scholes

• Derivación de la ecuación de Black-Scholes.

• Análisis de la contribución asociada a la difusión y advección en la ecuación de Black-Scholes.

• Principales aproximaciones en la ecuación de Black-Scholes.

• Condiciones de contorno y condiciones iniciales/finales en la ecuación de Black-Scholes.

• Diferentes payoffs en la ecuación de Black-Scholes: opciones europeas y americanas.

• Derivación analítica de la solución de la ecuación de Black-Scholes.

• Extensiones de la ecuación de Black-Scholes.



7. Implementación en diferencias finitas de la ecuación de Black-Scholes

• Métodos explícitos:

a) Derivación de la representación en diferencias finitas del método explícito.

b) Implementación de diferentes condiciones de contorno.

c) Errores globales y locales.

d) Análisis de la estabilidad (método von Neumann).

• Métodos implícitos:

a) Derivación de la representación en diferencias finitas del método implícito completo.

b) Método de Crank-Nicholson.



8. Otros métodos numéricos

• Filosofía de un nuevo método.

• Esquema de Douglas.

• Métodos de tres niveles temporales: Du-Fort Frankel.

• Extrapolación de Richardson.

• Opciones americanas.

Bibliografía

Bibliografía básica

• M. T. Heath (2001) “Scientific Computing: An Introductory Survey”, 2nd. ed. McGraw-Hill.

• P. Glasserman (2003): “Monte Carlo Methods in Financial Engineering” Springer-Verlag.

• P. Wilmott, S. Howison, and J. Dewinne (1996) “The mathematics of Financial Derivatives” Cambridge University Press.

Bibliografía de profundización

• C.-E. Fröberg (1985) “Numerical Mathematics. Theory and Computer Applications”. Addison-Wesley.



• W.H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vettering and B. P. Flannery, (1992) “Numerical Recipes in C: The art of Scientific Computing”



• Paul Wilmott (1999) “Derivatives: The theory and Practice of Financial Engineering” John Wiley and Sons NY



• J. Michael Steele “Stochastic Calculus and Financial Applications”, Springer Verlag; (2000)



• P. J. Brockwell and R. A. Davies (1996) “Introduction to Time Series and Forecasting” Springer-Verlag.



• P. J. Brockwell and R. A. Davies (1991) “Time Series: Theory and Methods”



• J. D. Hamilton (1994) “Time series analysis” Princeton University Press, Princeton.



• J.C. Hull (2000) “Options, Futures and other derivatives” Prentice Hall.



• G.D. Smith (1985) “Numerical solution of partial differential equations: Finite difference methods”, Clarendon Press, Oxford.