Descripción y contextualización de la asignatura

Los objetivos específicos de la asignatura de procesos estocásticos son:

1. Estructurar y ejercitar problemas de probabilidad, probabilidad condicionada y mezcla de distribuciones.

2. Definir y clasificar los procesos estocásticos.

3. Estudiar propiedades básicas de martingalas.

4. Estudiar en detalle el Movimiento browniano.

5. Familiarizarse con las propiedades del cálculo estocástico.

6. Aplicar adecuadamente la regla de cálculo estocástico de Itô.

7. Ser capaz de simular, presentar e interpretar los resultados mediante MatLab o software similar.



Los estudiantes provienen habitualmente de grados diferentes, en su mayoría de Economía, ADE, Matemáticas y Físicas. Eso significa que se suele configurar un grupo heterogéneo. Esta asignatura se imparte en el primer año de máster (este máster es de 120 ECTS), en el segundo trimestre. Para entonces los estudiantes han recibido tres asignaturas que han servido para que todos tengan un nivel básico común (Matemáticas y Estadística, Economía y Fundamentos de Economía Financiera I).



El primer tema se diseña como un repaso que afiance los conceptos en probabilidad y estadística. Los ejercicios prácticos en MatLab son muy útiles, no sólo por la facilidad de resolver ejercicios de grandes dimensiones, sino para entender mejor el sentido de los límites y de la teoría asintótica. La visualidad de los gráficos es de gran ayuda sobre todo para quienes no tienen alta capacidad de abstracción matemática.



Por otra parte, se imparte simultáneamente a Derivados, materia que necesita de la regla de Itô, al final del curso donde se realiza la valoración de estos productos y antes de las materias de Renta Fija y Gestión de Riesgos, que también necesitan de los instrumentos proporcionados en esta materia.



Es importante el contexto ya que se trata de una formación de alta componente matemática, que se imparte de forma instrumental dentro de un máster cuyo objetivo principal son las aplicaciones en el ámbito financiero. Por ello, la forma de impartir estos conocimientos debe tener y tiene el objetivo del aprendizaje y buen uso de las técnicas, dejando por tanto a un lado las demostraciones teóricas de los resultados. Estas se hacen únicamente en aquellos casos en los que el ejercicio sea útil para posteriores aplicaciones.



Para conseguir los objetivos, se aprovecha como ventaja la heterogeneidad del grupo, mediante la realización de tareas, que pueden realizar colectivamente, aunque deben entregar cada uno su propia solución e interpretación.

Convocatoria ordinaria: orientaciones y renuncia

Las ponderaciones para obtener la calificación final se aplicarán únicamente si el alumno/a obtiene una calificación global de 5 sobre 10 en las pruebas individuales. En caso contrario, la calificación final será la obtenida en las pruebas individuales.



No presentarse al examen de la asignatura supone una renuncia a la correspondiente convocatoria.



La Comisión Académica podrá modificar el sistema de evaluación de las asignaturas por causa sobrevenida. Cualquier posible cambio será anunciado al alumnado a la mayor brevedad posible a través de la plataforma egela.

Temario

1. Variables aleatorias. Teorema central del límite. Distribuciones condicionadas



Probabilidad y variables aleatorias

Espacios de probabilidad

Variables aleatorias

Esperanza matemática y funciones asociadas

Independencia y probabilidad condicionada

Desigualdades y tipos de convergencia



Mezcla de distribuciones

Convolución de variables

Distribuciones compuestas

Esperanzas iteradas



2. Procesos estocásticos. Definición y clasificación. Ejemplos



Introducción

Distribuciones marginales. Teorema de Kolmogorov

Características de un proceso

Criterio de continuidad



Cadenas de Markov

Matrices estocásticas y definición de cadena de Markov

Clasificación de estados de una cadena

Recurrencia y transitoriedad

Comportamiento asintótico: distribuciones estacionarias



Procesos de Poisson

Procesos con saltos



Procesos estacionarios

Procesos ARMA

Procesos ergódicos



Martingalas

Paseo aleatorio



3. Movimiento browniano. Cálculo de Itô



Movimiento Browniano

Definición

Propiedades



Integrales estocásticas

Construcción

Representación integral de variables aleatorias

Representación integral de martingalas



Cálculo de Itô

Cálculo diferencial estocástico. Regla de Itô

Cambio de probabilidad. Teorema de Girsanov

Modelo de Black-Scholes

Bibliografía

Bibliografía básica

- Notas de Procesos Estocásticos, de David Nualart y Eva Ferreira

- 89 Problemas resueltos de Probabilidad, Procesos estocásticos y Cálculo de Itô. Eva Ferreira y Larraitz Aranburu.

Bibliografía de profundización

- Grimmet, G. and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, Oxford University Press, 2001.



- Karatzas, I. and S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, 1991.



- Lamberton, D. and B. Lapeyre, Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman and Hall, 1996.