Esta asignatura contiene aspectos básicos de la Teoría de Ecuaciones Diferenciales y su objetivo es proporcionar una formación que permita acceder al estudio de otras materias que requieren estos conceptos como herramientas, y también, iniciar el conocimiento de un campo de la Matemática Aplicada útil en diferentes líneas de investigación.



La asignatura entra dentro del módulo de asignaturas obligatorias del Grado en Ingeniería Ambiental.

Esta asignatura contiene aspectos básicos de la Teoría de Ecuaciones Diferenciales y su objetivo es proporcionar una formación que permita acceder al estudio de otras materias que requieren estos conceptos como herramientas, y también, iniciar el conocimiento de un campo de la Matemática Aplicada útil en diferentes líneas de investigación.



En primer lugar se estudian las características y propiedades de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) lineales, que son la base de los métodos efectivos para encontrar soluciones de los problemas de condiciones iniciales y de contorno, expresadas éstas si es posible, mediante funciones elementales. Con esta base se estudian a continuación las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) de orden dos lineales, en particular la ecuación de difusión del calor, la ecuación de onda o la ecuación de Laplace, cuya resolución se realizará mediante el método de separación de variables.



En la segunda parte de la asignatura se introducen métodos numéricos para resolver los problemas de ecuaciones diferenciales que en la primera parte han sido estudiados mediate métodos analíticos más limitados. Se distinguen los métodos para condiciones iniciales donde la aproximación se resuelve paso a paso, de los métodos para condiciones de contorno, diferencias finitas o elementos finitos, donde la aproximación se obtiene simultáneamente resolviendo un sistema de ecuaciones.



Se inicia esta parte con el estudio de los métodos iterativos para la resolución de las ecuaciones y los sistemas no lineales, por su utilidad para otras disciplinas de la ingeniería ambiental, y también como concepto necesario para obtener aproximaciones numéricas de problemas diferenciales generales no lineales.



Por último se introducen los métodos de las diferencias finitas y los elementos finitos para la resolución numérica de los problemas mediambientales gobernados por ecuaciones en derivadas parciales (EDP's).

TEMA 1: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y SUPERIOR



TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE PRIMER ORDEN.



TEMA 3: PROBLEMAS DE CONTORNO LINEALES HOMOGÉNEOS DE STURM-LIOUVILLE. DESARROLLO EN SERIE DE AUTOFUNCIONES. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER. PROBLEMAS DE CONTORNO NO HOMOGÉNEOS.



TEMA 4: ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN: ECUACIÓN DE DIFUSIÓN, DE ONDA Y DE LAPLACE.



TEMA 5: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES



TEMA 6: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS.



TEMA 7: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES.

Las prácticas de Ordenador se realizarán con el software "Matlab".

• Continuous Assessment System
• Final Assessment System
• Tools and qualification percentages:
  • Written test to be taken (%): 80
  • Realization of Practical Work (exercises, cases or problems) (%): 20

La nota final de la asignaturaa será la media ponderada de los dos bloques, con coeficientes de ponderación de 0.6 y 0.4 respectivamente. Es decir, el primer bloque será el 60% y el segundo el 40% de la asignatura.



El primer bloque de la asignatura se evaluará mediante dos exámenes parciales eliminatorios correspondientes a los capítulos 1,2,3 y 4 el primero y al capítulo 5 el segundo.

La nota de la parte escrita del primer bloque, será la media ponderada de los dos parciales con coeficientes de ponderación de 0.75 y 0.25. Es decir, el primer parcial será el 75% y el segundo el 25% de la nota correspondiente al examen escrito del primer bloque.



La nota de cada uno de los dos bloques será la media ponderada de la evaluación escrita y la evaluación de prácticas. Los coeficientes de ponderación serán 0.8 y 0.2 respectivamente. Es decir, el examen será el 80% y las prácticas el 20%.



El examen final de Enero constarán de dos partes (correspondientes a cada bloque) que se calificarán y habrá que aprobar por separado (nota mínima de 5 sobre 10).

La nota final será la media ponderada de las notas obtenidas en ambos bloques, con la salvedad de que, si un bloque está suspendido y el otro aprobado, la nota final no será superior a 4.5. Los factores de ponderación serán 0.6 y 0.4 respectivamente.

Sólo se guardarán los bloques aprobados (nota mínima de 5 sobre 10) y sólo hasta la 2ª convocatoria de julio.



El estudiante que, por causas justificadas (motivos laborales, víctimas de violencia de género, parto, adopción, acogimiento o hijas e hijos menores de tres años a su cargo, cuidado familiar dependiente, alumnado con discapacidad igual o superior al 33%, deportistas de alto nivel, actividades artísticos/culturales que implican viajes o gran dedicación, compatibilzación con otros estudios superiores, compatibilzación con cargos políticos, sindicales, representación estudiantil, asociaciones, ONGs, u otros) no puedan participar en el sistema de evaluación mixta, podrá acreditar la consecución de conocimientos y competencias inherentes a la asignatura a través de una única prueba final. Ésta se configurará del tal forma que comprenda el total del 100% de la nota de la asignatura. Los estudiantes que estén en este caso, deberán justificar documentalmente sus causas ante la dirección del centro al menos un mes antes del inicio del periodo de exámenes.

el examen final de Julio constarán de dos partes (correspondientes a cada bloque) que se calificarán y habrá que aprobar por separado (nota mínima de 5 sobre 10).

La nota final será la media ponderada de las notas obtenidas en ambos bloques, con la salvedad de que, si un bloque está suspendido y el otro aprobado, la nota final no será superior a 4.5. Los factores de ponderación serán 0.6 y 0.4 respectivamente.

Notas de clase
Manual de prácticas.

Basic bibliography

-Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. F. SIMMONS, Ed McGraw-Hill, 1993.

-Ecuaciones Diferenciales y Problemas de valores en la frontera¿. W.E. BOYCE y R.C. DIPRIMA. Ed Limusa, 1991.

-Análisis Numérico, Burden, Richard L. & Faires, J. Douglas: ed. International Thomson. 2002.

-"Scientific Computing: An Introductory Survey¿, Heath M.T. McGraw-Hill, 1997.

In-depth bibliography

-Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. G. STEPHENSON. Ed. Longman, 1986.
-Ecuaciones Diferenciales. Un enfoque de modelado. G. LEDDER W.H. Ed. Mc Graw-Hill, 2006.
-Introduction to Computation and Modelling for Differential Equations, L. EDSBERG. ED, John Wiley and Sons, 2008.
- Métodos numéricos para ingenieros¿, Chapra, Steven C. & Canale, Raymond P. McGraw-Hill. 2007
- Applied numerical methods with Matlab for engineers and scientists. Chapra, Steven C. ED, McGraw-Hill Higher Education. 2008

Web addresses

https://en.wikipedia.org/wiki/MATLAB
https://en.wikibooks.org/wiki/MATLAB_Programming
https://es.mathworks.com/help/matlab/index.html
https://es.mathworks.com/help/matlab/getting-started-with-matlab.html