COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

- Estar familiarizado con los principales tipos de demostración matemática y las técnicas de resolución de problemas

(observación-conjetura-demostración).

- Conocer y manejar los elementos básicos de la teoría de conjuntos.

- Conocer los conjuntos numéricos básicos y las relaciones entre los mismos.

-Entender las propiedades fundamentales sobre divisibilidad de números enteros y polinomios así como los principales algoritmos (algoritmo de Euclides, identidad de Bézout).

- Manejar correctamente las desigualdades y estar familiarizado con algunas desigualdades clásicas.

- Saber resolver problemas combinatorios utilizando técnicas básicas, funciones generatrices y recurrencias.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE



- Utilizar con soltura y corrección el lenguaje y las notaciones de las matemáticas.

- Estar adiestrado en técnicas de resolución de problemas.

- Estar adiestrado en técnicas de demostración y refutación de conjeturas.

- Estar familiarizado con familias de números que tienen amplia presencia en muy diversas partes de las matemáticas.

- Manejar con soltura expresiones e identidades combinatorias, desigualdades, recurrencias y funciones generatrices.

1.LENGUAJE MATEMÁTICO: Definiciones, notaciones, teoremas y demostraciones. Demostraciones por reducción al absurdo y por inducción.

2.CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES: Operaciones con conjuntos. Aplicaciones. Conjuntos numerables y no numerables. Relaciones de equivalencia y de orden.

3.ELEMENTOS DE COMBINATORIA: Los principios multiplicativo y aditivo. Combinaciones y permutaciones. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

4.DESIGUALDADES: Inecuaciones polinómicas. Algunas desigualdades clásicas.

5.TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS: Trigonometría. Operaciones con los números complejos. Conjugación. Forma polar. Extracción de raíces y raíces de la unidad. El Teorema fundamental del Álgebra.

6.DIVISIBILIDAD: Los números enteros. El algoritmo de la división. Sistemas de numeración. Máximo común divisor y algoritmo de Euclides. Los números primos y la criba de Eratóstenes. El Teorema Fundamental de la Aritmética.

7.CONGRUENCIAS: Congruencias. Criterios de divisibilidad. Congruencias lineales. La función fi de Euler. El Teorema chino de los restos.

8.POLINOMIOS: Los algoritmos de la división y de Euclides. Factorización. Raíces y multiplicidades. Descomposición en fracciones simples de las funciones racionales.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la bibliografía y el material que para algunos temas se le entregará al alumnado. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá al alumnado resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad al alumnado para trabajarlos y que motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.



Se propondrán a los y las estudiantes trabajos individuales sobre teoría y problemas, para cuya realización y exposición dispondrán del apoyo del profesor en seminarios periódicos.



Parte importante del trabajo del alumnado es de carácter personal. El profesorado orientará en todo momento ese trabajo y estimulará que se haga con regularidad y dedicación. Se animará igualmente a que utilicen las tutorías personales, donde pueden aclarar cualquier duda o dificultad que se les presente en las asignaturas.

CONVOCATORIA ORDINARIA:



Examen escrito.

Criterios:

- Precisión en los razonamientos y en las definiciones.

- Correcta utilización del lenguaje matemático.

- Método correcto de razonamiento, explicando de una manera clara y ordenada los argumentos y pasos intermedios.

(Peso: 80%-100% de la nota final)



Es condición necesaria el sacar al menos un 4,5 sobre 10 en el examen escrito final para poder hacer la media ponderada que permita aprobar la asignatura.



Seminarios, trabajos individuales/grupales y/o examen parcial.

Criterios:

- Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático.

- Claridad en los argumentos.

- En las exposiciones orales, orden y precisión.

(Peso: 0%-20% de la nota final)

Basic bibliography

- I. Anderson, Introducción a la Combinatoria, Vicens Vives, 1993



- T.S. Blyth and E.F. Robertson, Sets, Relations and Mappings, Cambridge Univ. Press, 1984



- J.P. D'Angelo and D.B. West, Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs, Prentice Hall, 2000



- S. Lang, Undergraduate Algebra, Springer, 2005



- M. Liebeck, A concise introduction to Pure Mathematics, Chapman & Hall, 2006



- L. Martínez, Adéntrate en las matemáticas universitarias con humor, Marcombo, 2023



- L. Martínez, Profundiza en las matemáticas universitarias con humor, Marcombo, 2024



- K.H. Rosen, Matemática discreta y sus aplicaciones, McGraw-Hill, 2004