Esta asignatura es una introducción a las principales estructuras algebraicas (grupos, anillos y cuerpos) que, junto con los espacios vectoriales (estudiados en las asignaturas Álgebra Lineal I y II de primer y segundo curso, respectivamente) constituyen los fundamentos del Álgebra, en los que se profundizará en cursos posteriores (Álgebra Commutativa, Ecuaciones Algebraicas, Grupos y Representaciones, etc.).

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS



M01CM01 Entender el concepto abstracto de grupo a partir de los ejemplos vistos en otras asignaturas: grupos de números, de clases de restos, de matrices, etc.



M01CM02 Conocer los conceptos básicos de la teoría de grupos (subgrupos, subgrupos normales, cocientes, homomorfismos,...).



M01CM03 Saber operar con algunos grupos importantes (cíclicos, productos directos, simétricos,...) y conocer sus principales propiedades.



M01CM04 Conocer los conceptos básicos de la teoría de anillos y cuerpos (subanillos, ideales, cocientes, homomorfismos, característica, cuerpo de cocientes,...).



M01CM05 Conocer las propiedades de divisibilidad de los polinomios en una indeterminada y, en particular, saber aplicar los principales criterios de irreducibilidad.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE



Conocer los conceptos básicos de la teoría de grupos (subgrupos, subgrupos normales, cocientes, homomorfismos...) y las propiedades de los grupos más importantes (cíclicos, productos directos, diédricos, simétricos,...).



Conocer los conceptos básicos de la teoría de anillos y cuerpos y, en particular, de los anillos de polinomios en una y varias indeterminadas.

1. GRUPOS. GENERALIDADES: Concepto de grupo. Ejemplos (grupos de números, Z/nZ y sus unidades, grupos de matrices, grupos de simetrías,...). Subgrupos. Subgrupo generado por un subconjunto. Coclases e índice de un subgrupo. Teorema de Lagrange. Producto de subgrupos. Orden de un elemento. Grupos cíclicos.

2. SUBGRUPOS NORMALES Y GRUPOS COCIENTE: La conjugación y sus propiedades. Subgrupos normales. Construcción del grupo cociente. Subgrupos del grupo cociente.

3. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS: Homomorfismos de grupos. Núcleo e imagen de un homomorfismo. Grupos isomorfos. Los teoremas de isomorfía.

4. GRUPOS CÍCLICOS Y ABELIANOS: Subgrupos de los grupos cíclicos. Productos directos. Clasificación de los grupos abelianos finitos. Clasificación de algunos grupos de orden bajo.

5. EL GRUPO SIMÉTRICO: Permutaciones, descomposición en ciclos disjuntos. Signatura. Grupos simétrico y alternado. Conjugación en el grupo simétrico. El teorema de Cayley. Simplicidad de los grupos alternados.

6. ANILLOS Y CUERPOS: Anillos y cuerpos, primeras propiedades. Característica y subcuerpo primo. Dominios de integridad. Cuerpo de cocientes de un dominio de integridad. Subanillos, ideales y homomorfismos de anillos. Ideales maximales y cuerpos. El teorema chino de los restos.

7. POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA: Factorización de polinomios en una indeterminada. Criterios de irreducibilidad. Cocientes de los anillos de polinomios. Cuerpos finitos.

Clases magistrales, problemas de aula y seminarios. Los alumnos deben participar activamente en clase resolviendo los problemas planteados.

• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver Orientaciones. (%): 100

Habrá dos pruebas escritas, una parcial, y otra final. En la nota final se tendrá en cuenta el interés y disposición de cada alumno/a para el aprendizaje. La nota final de la asignatura es una suma ponderada de todas las actividades realizadas, como sigue:

- 60-80% examen escrito final.

- 10% examen escrito parcial.

- 10-30% prácticas de aula, trabajos individuales y/o en grupo.

Para superar la asignatura, es necesario obtener al menos 4 puntos sobre 10 en el examen escrito final.

- 100% examen escrito final.

No hay.

Bibliografía básica

J.D. DIXON, Problems in Group Theory. Dover, 1973.

S. LANG, Undergraduate Algebra, 2nd ed. Springer, New York, 2001.

G. NAVARRO, Un curso de álgebra. Universidad de Valencia, 2002.

A. VERA; F. VERA, Introducción al Algebra, I. Ellacuría, Bilbao, 1984.

A. VERA; F. VERA, Aljebrarako Sarrera, I. Ellacuría, 1991.

A. VERA; J. VERA, Problemas de Algebra, I: Teorías de Grupos y de Cuerpos. AVL, 1995.

Bibliografía de profundización

J. F. HUMPHREYS, A Course in Group Theory. Oxford University Press, 1996.
I. M. ISAACS, Algebra. A Graduate Course. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, 1994.
H. KURZWEIL; B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups. An Introduction. Universitext, Springer, New York, 2004.
J.S. ROSE, A course on Group Theory. Cambridge University Press, 1978.

Revistas

Por ser un curso introductorio no se recomiendan publicaciones periódicas.

Direcciones web

http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html
http://www.springerlink.com/content/u503q3/