COMPETENCIAS:



M12CM01- Comprender los conceptos, herramientas y metodología propios de la geometría de variedades diferenciables.



M12CM02- Conocer el cálculo diferencial e integral en variedades y el cálculo tensorial.



M12CM03- Conocer algunos importantes resultados básicos de la geometría de variedades diferenciables.



M12CM04- Utilizar el cálculo tensorial y exterior, tanto en forma intrínseca como en coordenadas. Aplicar los métodos de cálculo propios de la geometría diferencial.





RESULTADOS DE APRENDIZAJE:



1. Utilizar el cálculo tensorial y exterior, tanto en forma intrínseca como en coordenadas.



2. Aplicar los métodos de cálculo propios de la geometría diferencial.

1. VARIEDADES DIFERENCIABLES: Concepto de variedad diferenciable. Ejemplos. Topología de una variedad. Aplicaciones diferenciables entre variedades. Difeomorfismos. Espacios tangente y cotangente. La diferencial de una aplicación diferenciable. Regla de la cadena. Clasificación de aplicaciones diferenciables según el rango de su diferencial.



2. CAMPOS DE VECTORES SOBRE UNA VARIEDAD: El fibrado tangente. Campos de vectores como derivaciones. Álgebra de Lie de los campos de vectores. Cálculos en coordenadas. Campos de vectores relacionados por una aplicación diferenciable. Curvas integrales de un campo de vectores. Flujo.



3. FORMAS DIFERENCIALES: Formas diferenciales sobre variedades. Producto exterior. El álgebra

exterior de una variedad. La diferencial exterior de formas diferenciales. Formas cerradas y exactas. Nociones sobre los grupos de cohomología de De Rham. Números de Betti e invarianza por difeomorfismos. Derivada de Lie y producto interior.



4. INTEGRACIÓN EN VARIEDADES: Formas de volumen y orientación. Integración en variedades. Dominios regulares. Teorema de Stokes. Aplicaciones.

Los aspectos más destacados se expondrán en las clases magistrales siguiendo las referencias básicas que figuran en la Bibliografía.



Como complemento a las clases magistrales habrá prácticas de aula (o clases de problemas) y seminarios.



En las prácticas de aula se propondrá a los alumnos resolver problemas en los que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas.



En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a éllo.

Examen final escrito (necesario aprobar para aplicar el resto de las notas con sus porcentajes): 60%

Seminarios: 25%

Trabajos (problemas escritos): 15%





Según el punto 3 del artículo 8 de la Normativa reguladora de la Evaluación del Alumnado en las titulaciones oficiales de Grado, "el alumnado tendrá derecho a ser evaluado mediante el sistema de evaluación final, independientemente de que haya participado o no en el sistema de evaluación continua. Para ello, el alumnado deberá presentar por escrito al profesorado responsable de la asignatura la renuncia a la evaluación continua, para lo que dispondrán de un plazo de 9 semanas para las asignaturas cuatrimestrales [...], a contar desde el comienzo del cuatrimestre [...]". Dicha evaluación final consistirá en un examen escrito que supondrá toda la nota de la asignatura.

Bibliografía básica

W. M. BOOTHBY, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1975.



F. BRICKELL y R. S. CLARK, Differentiable manifolds, an introduction, Van Nostrand, 1970.



P.M. GADEA y J. MUÑOZ, Analysis and algebra on differentiable manifolds: a workbook for students and teachers, Kluwer Academic Publishers, 2001.



J.M. GAMBOA y J.M. RUIZ, Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, 2ª Edición, Sanz y Torres, 2006.



J. M. LEE, Introduction to smooth manifolds, Springer Verlag, 2002.



F. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer Verlag, 1983.