COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CM01 - Aplicar los principales métodos para el estudio de las funciones aritméticas.

CM02 - Relacionar distintos problemas de la teoría de números con las funciones aritméticas.

CM03 - Conocer el problema de la factorización en los anillos de enteros de cuerpos de números.

CM04 - Conocer las curvas elípticas, la operación entre sus puntos y algunas de sus propiedades y aplicaciones.

CM05 - Saber cuáles son los problemas principales de la teoría aditiva de números y su relación con otros problemas.





RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Saber deducir las leyes de descomposición de primos en extensiones abelianas del cuerpo de los números racionales.

Saber aplicar los métodos de la teoría algebraica de números en la resolución de ecuaciones diofánticas.

Ser capaz de reconocer los problemas de teoría de números cuya solución depende de una curva elíptica.

Saber calcular el rango y la torsión del grupo de puntos racionales de una curva elíptica en casos sencillos.

Saber hallar estimaciones para diversas medidas de números algebraicos: medias y medidas de Mahler.

1. FUNCIONES ARITMÉTICAS: Productos de Dirichlet y medias. Distribución de números primos: Teorema de Chebyshev. Teorema del número primo. Demostración elemental. Demostración analítica. Caracteres y Teorema de Dirichlet.

2. CUERPOS DE NÚMEROS Y ANILLOS DE ENTEROS: Extensiones enteras. Anillos de Dedekind. Factorización única de ideales. Leyes de descomposición de primos.

3. CURVAS ELÍPTICAS: La operación de grupo sobre un cúbica. Puntos racionales. Puntos de torsión. Teorema de Mordell-Weil. Cálculo del rango.

4. TEORÍA ADITIVA DE NÚMEROS: Sumas de cuadrados. Particiones. Funciones de Jacobi. El problema de Waring.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollaran cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.



Se propondrán a los estudiantes trabajos individuales sobre teoría y problemas, para cuya realización y exposición dispondrán del apoyo del profesor en seminarios periódicos.



Parte importante del trabajo del alumno es de carácter personal. Los profesores orientarán en todo momento ese trabajo y estimularán que se haga con regularidad y dedicación. Se animará igualmente a que utilicen las tutorías personales donde pueden aclarar cualquier duda o dificultad que se les presente en las asignaturas.

Un 20 % por la participación activa en los Seminarios y realización de tareas en la pizarra y por los resultados obtenidos en los trabajos entregados por escrito (lista de problemas resueltos, etc.) a lo largo del curso.



Y el 80% restante, por los resultados obtenidos en un examen final de problemas de la asignatura, en el que exigirá una nota mínima de 4 puntos sobre 10.

Bibliografía básica

P. SAMUEL, Théorie Algèbrique des Nombres, Hermann, Paris, 1967.

I. STEWART, D. TALL, Algebraic Number Theory, Chapman&Hall, 1987.

Bibliografía de profundización

S. LANG, Algebraic Number Theory,1994.
R. LONG, Algebraic Number Theory, Marcel Dekker,1977.
D.A. MARCUS, Number Fields, Springer,1977.
T. ONO, An Introduction to Algebraic Number Theory, Plenum,1990.