COMPETENCIAS ESPECÍFICAS:



- M15CM10: Comprender los conceptos métricos y topológicos básicos del espacio euclídeo n-dimensional.

- M15CM11: Comprender los conceptos de continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables.

- M15CM12: Saber las técnicas del cálculo de derivadas de funciones de varias variables, derivadas parciales, derivadas direccionales y regla de la cadena.

- M15CM13: Saber aplicar los teoremas de la función implícita y función inversa en diferentes cálculos.

- M15CM14: Conocer las técnicas del cálculo de extremos (absolutos y relativos) de funciones de varias variables con y sin restricciones.

- M15CM15: Saber plantear y resolver integrales de Riemann de funciones de varias variables, integrales de línea y de superficie, así como conocer sus aplicaciones geométricas y físicas.

- M15CM16: Conocer el significado geométrico y físico de los teoremas vectoriales para el cálculo de integrales de línea y superficie.

- M15CM17: Calcular series de Fourier de funciones elementales y conocer sus propiedades y sus tipos de convergencia, así como algunas de sus aplicaciones fundamentales.





RESULTADOS DE APRENDIZAJE:



- Manejar las propiedades de sucesiones y series, relacionar los conceptos de convergencia y acotación.

- Resolver integrales múltiples, de línea y de superficie y aplicar con destreza los teoremas vectoriales.

- Plantear y resolver problemas geométricos (gráficas de funciones, longitudes, áreas, volúmenes) y físicos (centros de gravedad, masa, momentos de inercia) con ayuda del cálculo diferencial e integral.

1. ESPACIOS EUCLÍDEOS: Producto escalar, norma, desigualdad de Cauchy-Schwarz. Teoremas de Cantor,

de Bolzano y de Heine-Borel. Sucesiones en R^n, convergencia, teorema de Bolzano-Weierstrass, sucesión de Cauchy, teorema de Cauchy.

2. FUNCIONES CONTINUAS: Funciones en R^n, gráficas, curvas de nivel, límites, límites direccionales, límites iterados. Funciones continuas, propiedades elementales. Funciones lineales, caracterización matricial. Continuidad. Norma en L(R^n, R^m). Propiedades globales de la continuidad, conservación de la compacidad y la conexión, continuidad de la función inversa, continuidad uniforme.

3. DIFERENCIACIÓN: Derivadas direccionales y parciales, matriz jacobiana, condiciones de existencia de la diferencial, regla de la cadena. Teoremas del valor medio. Derivadas parciales de orden superior, hessiano, polinomio de Taylor. Teorema de la función inversa, teorema de la función implícita, teoremas de parametrización y del rango. Extremos locales y condicionados: multiplicadores de Lagrange.

4. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES: Convergencia puntual y uniforme, norma uniforme,

criterio de Cauchy de convergencia uniforme, criterio de Weierstrass, sucesiones de funciones continuas. Teoremas de aproximación: Bernstein, Weierstrass, Stone-Weierstrass. Teorema de Ascoli-Arzelà.

5. INTEGRACIÓN: Sumas de Riemann, definición de integral, contenido y medida cero, criterio de Cauchy, existencia de la integral, contenido e integral, teorema del valor medio.

6. TEOREMA DE FUBINI Y CAMBIO DE VARIABLE: Integrales iteradas, teorema de Fubini, transformación de conjuntos, transformación por aplicaciones lineales y no lineales, cambio de variable, coordenadas polares, esféricas y cilíndricas.

7. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES VECTORIALES: Definición de campo vectorial, línea de flujo, gradiente, divergencia y rotacional. Curvas en el espacio euclídeo, tangente y longitud de arco.

8. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES: Integrales curvilíneas. Integral de trayectoria, curvas orientadas, integral de línea, cambio de parametrización. Superficies parametrizadas, área, integral de superficie de funciones escalares y vectoriales. Superficies orientadas. Teoremas de Green, de la divergencia y de Stokes. Campos conservativos.

9. SERIES DE FOURIER: Coeficientes de Fourier, ortogonalidad de senos y cosenos. Lema de Riemann-Lebesgue. Convergencia puntual: núcleo de Dirichlet. Aplicación a funciones particulares. Convergencia uniforme. Aproximación en media cuadrática, desigualdad de Bessel e identidad de Parseval.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía y el material de uso obligatorio. Se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.

Por parciales

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* Dos parciales (ponderación relativa: 2/5 y 3/5), que valdrán como mínimo el 90% de la nota final.

* Participación en seminarios, trabajos individuales, controles periódicos (no necesariamente todas las posibilidades) como máximo un 10% de la nota final.



Para aprobar la asignatura por parciales, será necesario que la nota resultante del examen y de la participación durante el curso en cada parcial sea superior o igual a 5.



Mediante examen final

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* Examen final de la asignatura: al menos el 90% de la nota final.

* Participación en seminarios, trabajos individuales, controles periódicos (no necesariamente todas las posibilidades) como máximo un 10% de la nota final.



En caso de renunciar a la evaluación continua, notificándolo a los profesores en los plazos establecidos por la universidad: Examen final 100%.

Material distribuido a través de la plataforma EGELA:

* Problemas
* Seminarios
* Notas del curso

Bibliografía básica

T.M. APOSTOL, Análisis Matemático, 2ª edición, Ed. Reverté, Barcelona, 1977.

R.G. BARTLE, Introducción al Análisis Matemático, E. Limusa, México, 1980.

F. BOMBAL, L. RODRIGUEZ. G. VERA, Problemas de Análisis Matemático. V. 1,2.

W.H. FLEMING, Funciones de varias variables, Ed. CECSA, México. 1969.

J.E. MARSDEN y M.J. HOFFMAN, Análisis clásico elemental, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1998

J.E. MARSDEN y A. TROMBA, Cálculo Vectorial, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, Buenos Aires, 1991.

J.M. MAZON, Cálculo diferencial: teoría y problemas, McGraw-Hill, 1997.

M. SPIVAK, Cálculo en variedades, Ed. Reverté, Barcelona, 1979.

N. PISKUNOV, Kalkulu Diferentziala eta Integrala, UEU, 2009.

Bibliografía de profundización

W. RUDIN, Principios de Análisis Matemático, McGraw-Hill, 1980.
T. TAO, Analysis I, II, Hindustan Book Agency, 2006.
S. Lang, Calculus of Several Variables, Springer, 1987.