COMPETENCIAS ESPECÍFICAS



M02CM01 - Conocer los instrumentos analíticos y topológicos necesarios para el estudio de curvas y superficies.

M02CM02 - Ser capaz de utilizar el cálculo diferencial e integral y la topología euclídea en la resolución de problemas geométricos.

M02CM03 - Conocer los principales teoremas de la teoría local de curvas y superficies, y ser capaz de utilizarlos para resolver cuestiones geométricas.

M02CM05 - Manejar el triedro de Frenet para el estudio de la teoría local de curvas. Calcular longitudes de curvas, la curvatura y la torsión.

M02CM06 - Trabajar con las superficies regulares mediante sus coordenadas. Calcular las diversas curvaturas de una superficie.

M02CM07 - Utilizar los conceptos aprendidos para el estudio de superficies de revolución, regladas y minimales.

M02CM08 - Trabajar con campos de vectores tangentes y normales a una superficie y entender el transporte paralelo de vectores a lo largo de curvas sobre superficies.

M02CM09 - Reconocer las geodésicas en las superficies.

M02CM10 - Ser capaz de utilizar software y medios informáticos para la visualización de las curvas y superficies y el cálculo de sus elementos.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA



Manejar el triedro de Frenet para el estudio de la teoría local de curvas.

Calcular longitudes de curvas, la curvatura y la torsión.

Trabajar con las superficies regulares mediante sus coordenadas.

Calcular las diversas curvaturas de una superficie.

Utilizar los conceptos aprendidos para el estudio de superficies de revolución, regladas y minimales.

Trabajar con campos de vectores tangentes y normales a una superficie y entender el transporte paralelo de vectores a lo largo de curvas sobre superficies.

Reconocer las geodésicas en las superficies.

Ser capaz de utilizar software y medios informáticos para la visualización de las curvas y superficies y el cálculo de sus elementos.

1. CURVAS EN EL ESPACIO EUCLIDEO: Curvas parametrizadas regulares, parametrizaciones equivalentes, el parámetro natural, curvatura, triedro de Frenet, fórmulas de Frenet, torsión, teorema fundamental de existencia y unicidad de curvas.



2. SUPERFICIES REGULARES: Superficies regulares, funciones diferenciables en una superficie, aplicaciones diferenciables entre superficies regulares, difeomorfismos, vectores tangentes a una superficie, plano tangente, diferencial de una aplicación entre superficies, difeomorfismos locales, la primera forma fundamental, campos vectoriales, orientación en superficies, caracterización de la orientabilidad.



3. LA APLICACION DE GAUSS: La aplicación de Gauss y la aplicación de Weingarten, la segunda forma fundamental, curvatura normal, teorema de Meusnier, curvaturas y direcciones principales, líneas de curvatura, teorema de Olinde-Rodrigues, curvatura de Gauss y curvatura media, clasificación de los puntos de una superficie, direcciones asintóticas, indicatriz de Dupin, direcciones conjugadas, la aplicación de Gauss en coordenadas locales, ecuaciones de Weingarten, expresiones de la curvatura de Gauss y de la curvatura media.



4. GEOMETRIA INTRINSECA DE UNA SUPERFICIE: Isometrías e isometrías locales, aplicaciones conformes y localmente conformes, símbolos de Christoffel, ecuaciones de Mainardi-Codazzi, teorema egregium de Gauss, teorema de Bonnet.



5. GEODÉSICAS: Derivada covariante de un campo de vectores, transporte paralelo a lo largo de una curva, geodésicas, curvatura geodésica, fórmula de Liouville, ecuaciones diferenciales de las geodésicas, la aplicación exponencial, coordenadas polares geodésicas.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollaran cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello. Además, se realizarán prácticas de ordenador orientadas a la consecución de las competencias de la asignatura.

Es obligatoria la asistencia a los seminarios y las prácticas de ordenador.



Las prácticas de ordenador tienen carácter obligatorio. Por ello, si el alumno o la alumna no ha realizado dichas prácticas durante el curso, deberá realizar una prueba práctica en la que demuestre el dominio de las mismas.



Superadas las prácticas como se indica anteriormente, para poder aprobar la asignatura será necesario sacar una nota mínima de 4 sobre 10 en el examen final y la nota final se obtendrá como sigue:

el 85% del examen escrito, el 10% de los trabajos individuales y el 5% del trabajo en los seminarios.



En todo caso el alumnado tendrá derecho a ser evaluado mediante el sistema de evaluación final, independientemente de que haya participado o no en el sistema de evaluación continua. Para ello, el alumnado deberá presentar por escrito al profesorado responsable de la asignatura la renuncia a la evaluación continua, para lo que dispondrán de un plazo de 9 semanas, a contar desde el comienzo del cuatrimestre. Dado que las prácticas de ordenador tienen carácter obligatorio, si el alumno o la alumna no ha realizado dichas prácticas durante el curso regular deberá realizar un prueba práctica en la que demuestre el dominio de las citadas prácticas. La evaluación consistirá en la realización de un examen final que será el 100% de la nota.

Bibliografía básica

M. P. DO CARMO, Diferencial de Curvas y Superficies, Alianza Universidad Textos 135, Alianza Editorial, 1990.

L. A. CORDERO, M. FERNANDEZ y A. GRAY, Geometría Diferencial de Curvas y

Superficies con Mathematica, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

A. GRAY, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Addison-Wesley, 1997.

C.C. HSIUNG, A First Course in Differential Geometry, International Press, 1997.

E. KREYSZIG, Differential Geometry, Dover, 1991.

J. McCLEARY, Geometry from a Differential Viewpoint, Cambtridge Univ. Press, 1994.

R. S. MILLMAN y G. D. PARKER, Elements of Differential Geometry, Prentice-Hall, 1977.

A. MONTESDEOCA, Apuntes de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, Col. Textos Univ. Gob. Canarias, 1996.

S. MONTIEL, A. ROS, Curvas y Superficies, Proyecto Sur, 1997.

J. OPREA, Differential Geometry and its Applications, Prentice Hall, 1997.