COMPETENCIAS



M02CM03 - Conocer los principales teoremas de la teoría local de curvas y superficies, y ser capaz de utilizarlos para resolver cuestiones geométricas.

M02CM04 - Distinguir entre conceptos locales y globales, intrínsecos y extrínsecos.

M02CM16 - Establecer las relaciones entre la teoría local y las propiedades globales de las curvas y superficies en R3.

M02CM17 - Asimilar las propiedades y teoremas más destacados de la geometría diferencial global de curvas y superficies.

M02CM18 - Usar el cálculo diferencial e integral y la topología para el estudio de las propiedades globales de las curvas y superficies.

M02CM19 - Aplicar las ecuaciones diferenciales y las integrales de línea y de superficie para determinar propiedades globales de curvas y superficies.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA



Usar el Cálculo diferencial e integral y la Topología para el estudio de las propiedades globales de las curvas y superficies.

Aplicar las ecuaciones diferenciales y las integrales de línea y de superficie para determinar propiedades globales de curvas y superficies.

Calcular índices de rotación sobre curvas planas.

Reconocer las curvas convexas a partir de su curvatura.

Conocer el problema de la orientabilidad en superficies.

Conocer el problema de rigidez de la esfera.

Trabajar con integrales de curvaturas de curvas y superficies.

Saber aplicar las formulas de Gauss-Green en superficies.

Saber clasificar las superficies compactas.

Calcular la característica de Euler-Poincaré.

Trabajar con la propiedad minimizante de las curvas geodésicas.

1. GEOMETRÍA GLOBAL DE CURVAS PLANAS Y ALABEADAS: Teorema de la curva de Jordan. Desigualdad isoperimétrica. Teorema de los cuatro vértices. Fórmula de Cauchy-Crofton. Teorema de rotación de las tangentes. Teorema de Fenchel. Teorema de Fary-Milnor.



2. UNA CARACTERIZACIÓN DE LAS SUPERFICIES COMPACTAS ORIENTABLES: Entornos tubulares. Caracterización de las superficies compactas orientables.



3. EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET: Teorema de Gauss-Bonnet local. Característica de Euler-Poincaré. Teorema de Gauss-Bonnet global y aplicaciones.



4. LA RIGIDEZ DE LA ESFERA: Teorema de Liebmann. Fórmulas de Minkowski y Herglotz. Teorema de Cohn-Vossen.



5. SUPERFICIES COMPLETAS: Completitud geodésica y completitud métrica. Teorema de Hopf-Rinow.



6. TÉCNICAS VARIACIONALES Y APLICACIONES GEOMÉTRICAS: Primera variación de la longitud de arco, geodésicas. Segunda variación de la longitud de arco, teorema de Bonnet. Campos de Jacobi y puntos conjugados. Superficies con curvatura gaussiana no positiva.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollaran cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.

Prueba escrita con teoría y ejercicios: 100%

Bibliografía básica

M. P. DO CARMO, Geometría diferencial de curvas y superficies, Alianza Universidad Textos 135, Alianza Editorial, 1990.

L.A. CORDERO, M. FERNÁNDEZ y A. GRAY, Geometría diferencial de curvas y superficies con Matemática©, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

S. MONTIEL y A. ROS, Curvas y superficies, Proyecto Sur, 1998.

M. ABATE, F. TOVENA, Curves and Surfaces, Springer Verlag, 2012.

A.F. COSTA, M. GAMBOA y A.M. PORTO, Notas de Geometría diferencial de curvas y superficies, Sanz y Torres, 1996.

A.S. FEDENKO, Problemas de geometría diferencial, Editorial MIR, 1991.

R. S. MILLMAN y G. D. PARKER, Elements of Differential Geometry, Prentice Hall Inc., 1977.

A. PRESSLEY, Elementary Differential Geometry, Springer Verlag, 2001.

Bibliografía de profundización

S. S. CHERN, Curves and Surfaces in Euclidean Spaces, Studies in Global Geometry and Analysis, MAA Studies in Math., The Mathematical Association of America, 1967.
W. KLINGENBERG, Curso de Geometría diferencial, Alhambra, 1978.