COMPETENCIAS



Conocer demostraciones rigurosas de resultados sobre ecuaciones diferenciales e idear nuevas demostraciones de resultados propuestos.

Utilizar métodos analíticos, gráficos y computacionales para la resolución de ecuaciones diferenciales concretas. Relacionar distintos problemas de la Geometría, la Física y el mundo real con las ecuaciones diferenciales.

Resolver ecuaciones diferenciales y transmitir los métodos de resolución de manera escrita y oral con el lenguaje matemático adecuado.

Conocer las distintas nociones de solución de una ecuación en derivadas parciales y aplicar posibles métodos de cálculo de soluciones.

Traducir problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

Entender el comportamiento de las ecuaciones diferenciales en entornos de puntos regulares o singulares y la noción de estabilidad en los puntos de equilibrio.





RESULTADOS DE APRENDIZAJE



Aplicar los métodos principales en la resolución de las ecuaciones en derivadas parciales.

Resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales.

Interpretar algunos problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales.

Saber obtener información cualitativa sobre las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales.

1. INTRODUCCIÓN. ¿Qué son las EDP? Terminología. Cambio de variable. Repaso de divergencia, gradiente y del Teorema de la divergencia y fórmula de Green. Ejemplos de ecuaciones de la Física-Matemática: calor, ondas, potencial, Schrödinger, Cauchy-Riemann, Navier-Stokes. Problema de Cauchy. Condiciones iniciales y condiciones de contorno. Resolución de ecuaciones de primer orden: método de las características. Clasificación de las ecuaciones de segundo orden. Teorema de Cauchy-Kowalevsky. Problemas bien planteados.

2. ONDAS EN UNA DIMENSIÓN. Deducción de la ecuación. La cuerda vibrante infinita: solución de D'Alembert. Soluciones fundamentales. Dominios de dependencia y de influencia. Ecuación no homogénea. Soluciones generalizadas o débiles. Ondas en una semirrecta. Ondas en una cuerda finita. Conservación de la energía.

3. LA ECUACION DEL CALOR EN LA RECTA. Deducción de la ecuación. Soluciones auto semejantes. Distribuciones y convolución. Soluciones fundamentales. Funciones de Green. La solución al problema de valores iniciales. Algunas propiedades de la solución. La unicidad. Ecuación no homogénea: método de Duhamel. La ecuación del calor en un cilindro.

4. SEPARACIÓN DE VARIABLES. Solución de la ecuación del calor sobre una barra finita por separación de variables. Repaso de algunos teoremas de convergencia de funciones. Criterio de Weierstrass. Series de Fourier: coeficientes de Fourier, núcleo de Dirichlet, resultados de convergencia, desigualdad de Bessel, convergencia uniforme. Convergencia al dato inicial. Otras condiciones de contorno. El problema de Sturm-Liouville. Solución de la ecuación del calor no homogénea sobre una barra finita por separación de variables. Separación de variables para la ecuación de ondas. Separación de variables sobre otros dominios.

5. LA ECUACION DEL POTENCIAL EN EL PLANO. El problema de Dirichlet en un círculo, anillo, en el exterior de una bola y en un semiplano. Núcleos de Poisson. Continuidad hasta el borde. Algunas propiedades de las funciones armónicas. El principio del máximo. El problema de Dirichlet en un rectángulo. El problema de Neumann.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollaran cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.

Examen final escrito y entrega de trabajos.



Examen escrito: 80% de la nota.



Evaluación de trabajos: 20% de la nota.



Para realizar la media entre ambas notas habrá que sacar al menos un 4 en el examen escrito.



En el caso de que las condiciones sanitarias impidan la realización de una evaluación presencial, se activará una evaluación no presencial de la que será informado el alumnado puntualmente.

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Basic bibliography

S. J. FARLOW, Partial Differenial Equations for Scientists & Engineers, Ed. John Wiley & Sons,1982.

F. JOHN, Partial Differential Equations, Ed. Springer-Verlag, New York, 1981.

J. D. LOGAN, Applied Partial Differential Equations, Ed. Springer-Verlag,1998.

I. PERAL, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Ed. Addison-Wesley/UAM, 1995.

H. F. WEINBERGER, Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Ed. Reverté, 1979.

W. STRAUSS, Partial Differential Equations: An Introduction, 2nd Edition, Wiley, 2008.

In-depth bibliography

J. OCKENDON, S. HOWISON, A. LACEY, A. MOVCHAN, Applied Partial Differential Equations, Oxford Texts in Applied and Engineering Mathematics, 2003.
L. C. EVANS, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 1998.
R. SEELEY, Introducción a las Series e Integrales de Fourier, Ed. Reverté, 1970.
E. A. GONZÁLEZ-VELASCO, Fourier Analysis and Boundary Value Problems, Ed. Academic Press, 1995.